2つの関数 $y = -3x^2$ と $y = ax + b$ について、$x$ の変域が $-1 \leq x \leq 2$ のとき、$y$ の変域が同じになる。ただし、$a$、$b$ は定数で、$a > 0$ である。このとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの関数 $y = -3x^2$ と $y = ax + b$ について、$x$ の変域が $-1 \leq x \leq 2$ のとき、$y$ の変域が同じになる。ただし、$a$、$b$ は定数で、$a > 0$ である。このとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = -3x^2$ の変域を求める。$x$ の変域 $-1 \leq x \leq 2$ において、$y = -3x^2$ は上に凸の放物線なので、$x = 0$ のときに最大値 $y = 0$ をとる。$x = -1$ のとき $y = -3(-1)^2 = -3$、$x = 2$ のとき $y = -3(2)^2 = -12$ である。よって、$y$ の変域は $-12 \leq y \leq 0$ である。

次に、$y = ax + b$ の変域を求める。$a > 0$ なので、$y = ax + b$ は単調増加の直線である。したがって、$x = -1$ のとき最小値 $y = -a + b$ をとり、$x = 2$ のとき最大値 $y = 2a + b$ をとる。

$y$ の変域が一致するので、

$$-a + b = -12$$

$$2a + b = 0$$

この連立方程式を解く。2番目の式から $b = -2a$ を得る。これを最初の式に代入すると、

$$-a - 2a = -12$$

$$-3a = -12$$

$$a = 4$$

$a = 4$ を $b = -2a$ に代入すると、

$$b = -2(4) = -8$$

よって、$a = 4$, $b = -8$ である。

3. 最終的な答え

$a = 4$

$b = -8$