2次関数 $y = kx^2 + 3x + 2k$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持たず、常に $x$ 軸より下側にあるとき、定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = kx^2 + 3x + 2k$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持たず、常に $x$ 軸より下側にあるとき、定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフが常に $x$ 軸より下側にあるためには、以下の2つの条件を満たす必要がある。

* $k < 0$ （上に凸）

* $D < 0$ ($x$軸との共有点を持たない)

ここで、$D$ は判別式であり、$D = b^2 - 4ac$ で計算される。この問題では、$a = k$, $b = 3$, $c = 2k$ なので、

$D = 3^2 - 4 \cdot k \cdot 2k = 9 - 8k^2$ となる。

$D < 0$ より

$9 - 8k^2 < 0$

$8k^2 > 9$

$k^2 > \frac{9}{8}$

したがって、$k < -\frac{3}{2\sqrt{2}}$ または $k > \frac{3}{2\sqrt{2}}$

$k < -\frac{3\sqrt{2}}{4}$ または $k > \frac{3\sqrt{2}}{4}$

また、$k < 0$ なので、$k < -\frac{3\sqrt{2}}{4}$となる。

3. 最終的な答え

$k < -\frac{3\sqrt{2}}{4}$