与えられた循環小数 $0.596296296...$ を分数で表す問題です。問題文には、$\frac{1}{9} = 0.111...$, $\frac{1}{99} = 0.010101...$, $\frac{1}{999} = 0.001001...$という情報が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた循環小数 $0.596296296...$ を分数で表す問題です。問題文には、$\frac{1}{9} = 0.111...$, $\frac{1}{99} = 0.010101...$, $\frac{1}{999} = 0.001001...$という情報が与えられています。

2. 解き方の手順

与えられた循環小数 $0.596296296...$ は、$596$ が繰り返し現れる循環小数です。この繰り返し部分の桁数が3なので、$\frac{1}{999} = 0.001001001...$ の形を利用することを考えます。

まず、$0.596296296...$ を次のように変形します。

$0.596296296... = 0.596 + 0.000296 + 0.000000296 + ...$

$= \frac{596}{1000} + \frac{296}{1000000} + \frac{296}{1000000000} + ...$

与えられた循環小数は、

$0.596296296... = 0.5 + 0.096 + 0.000296296...$

と分解することもできます。

別の方法として、与えられた小数を $x$ とおくと、

$x = 0.596296296...$

$1000x = 596.296296...$

$1000x - x = 596.296296... - 0.596296296...$

$999x = 595.7$

$9990x = 5957$

$x = \frac{5957}{9990}$

ここで、循環部分の3桁をまとめて考えることを試みます。

$0.596296296... = 596 \times 0.001001001... = 596 \times \frac{1}{999} = \frac{596}{999}$

しかし、これは、$0.596$ であり、$0.596296296...$ ではありません。

正しくは、

$x = 0.596296296...$と置くと、

$1000x = 596.296296...$

$x = 0.596296296...$

$999x = 595.7$

$999x = 595 + \frac{7}{10} = \frac{5950+7}{10} = \frac{5957}{10}$

$x = \frac{5957}{9990}$

3. 最終的な答え

$\frac{5957}{9990}$