問題は、$\frac{1}{9} = 0.111...$, $\frac{1}{99} = 0.010101...$ であることを利用して、$0.596296296...$ を分数で表す問題です。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{1}{9} = 0.111...$, $\frac{1}{99} = 0.010101...$ であることを利用して、$0.596296296...$ を分数で表す問題です。

2. 解き方の手順

与えられた情報から、$0.111... = \frac{1}{9}$ であることが分かります。求める循環小数は $0.596296296...$ であり、循環部分が '296' であるため、$0.001001001... = \frac{1}{999}$ を利用することを考えます。

$0.596296296... = 0.5 + 0.096296296... = \frac{1}{2} + 0.096296296...$ と分解することができます。

$x = 0.096296296...$ とおくと、 $1000x = 96.296296296...$ となります。

すると、$1000x - x = 96.296296... - 0.096296296... = 96.2$ となります。

したがって、$999x = 96.2 = \frac{962}{10} = \frac{481}{5}$

$x = \frac{481}{5 \times 999} = \frac{481}{4995}$

したがって、

$0.596296296... = \frac{1}{2} + \frac{481}{4995} = \frac{4995 + 2 \times 481}{2 \times 4995} = \frac{4995 + 962}{9990} = \frac{5957}{9990}$

ただし、これは問題文が意図しているであろう解き方ではありません。問題文が与えているヒントである$\frac{1}{9} = 0.111...$ と $\frac{1}{999} = 0.001001001...$を直接利用することを考えます。

$0.596296296... = 0.5 + 0.096296296... = \frac{5}{10} + 96 \times 0.001001001... + 0.000296296296... = \frac{1}{2} + 96 \times \frac{1}{999} + \frac{296}{1000} \times \frac{1}{999}$

$= \frac{1}{2} + \frac{96}{999} + \frac{296}{999000}$

$= \frac{499500+479520+296}{999000} = \frac{979316}{999000} = \frac{244829}{249750}$

正しい解法は、

$x=0.596296296...$ とおくと、

$1000x=596.296296296...$

よって $1000x - x = 596.296296... - 0.596296... = 595.7$

$999x = \frac{5957}{10}$

$x = \frac{5957}{9990}$

3. 最終的な答え

$\frac{5957}{9990}$