実数 $x, y$ がそれぞれ $x = \sqrt{6 - \sqrt{32}}$ , $y = \sqrt{6 + \sqrt{32}}$ で与えられているとき、$x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ がそれぞれ $x = \sqrt{6 - \sqrt{32}}$ , $y = \sqrt{6 + \sqrt{32}}$ で与えられているとき、$x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の和と積を計算します。

$x = \sqrt{6 - \sqrt{32}} = \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}$

$y = \sqrt{6 + \sqrt{32}} = \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}$

$x + y = \sqrt{6 - 4\sqrt{2}} + \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}$

$(x+y)^2 = (6 - 4\sqrt{2}) + 2\sqrt{(6 - 4\sqrt{2})(6 + 4\sqrt{2})} + (6 + 4\sqrt{2}) = 12 + 2\sqrt{36 - 16 \times 2} = 12 + 2\sqrt{36 - 32} = 12 + 2\sqrt{4} = 12 + 2 \times 2 = 16$

$x + y = \sqrt{16} = 4$

$xy = \sqrt{(6 - \sqrt{32})(6 + \sqrt{32})} = \sqrt{36 - 32} = \sqrt{4} = 2$

次に、$x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3$ を変形します。

$x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3 = x^3 + y^3 + 2xy(x+y) = (x+y)(x^2 - xy + y^2) + 2xy(x+y)$

$= (x+y)(x^2 - xy + y^2 + 2xy) = (x+y)(x^2 + xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - xy)$

$x+y = 4, xy = 2$ を代入します。

$(x+y)((x+y)^2 - xy) = 4(4^2 - 2) = 4(16 - 2) = 4 \times 14 = 56$

3. 最終的な答え

56