与えられた式 $9x^2 - 6xy - 8y^2$ を因数分解し、$(3x - \boxed{\text{エ}}y)(3x + \boxed{\text{オ}}y)$ の $\boxed{\text{エ}}$ と $\boxed{\text{オ}}$ に当てはまる数を求める。

1. 問題の内容

与えられた式 $9x^2 - 6xy - 8y^2$ を因数分解し、$(3x - \boxed{\text{エ}}y)(3x + \boxed{\text{オ}}y)$ の $\boxed{\text{エ}}$ と $\boxed{\text{オ}}$ に当てはまる数を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、たすき掛けを利用します。

$9x^2 - 6xy - 8y^2 = (3x + ay)(3x + by)$ とおきます。

ここで、$a$ と $b$ は定数です。展開すると、

$(3x + ay)(3x + by) = 9x^2 + 3bxy + 3axy + aby^2 = 9x^2 + (3a + 3b)xy + aby^2$

したがって、

$3a + 3b = -6$

$ab = -8$

$a + b = -2$

$ab = -8$

となる $a, b$ を探します。

$ab = -8$ より、$a$ と $b$ は異符号です。

組み合わせとしては、 $(a, b) = (2, -4), (-2, 4), (4, -2), (-4, 2), (1, -8), (-1, 8), (8, -1), (-8, 1)$ などが考えられます。

$a + b = -2$ を満たすのは、 $(a, b) = (2, -4)$ または $(a,b) = (-4, 2)$ です。

$a = 2, b = -4$ とすると、 $(3x + 2y)(3x - 4y)$ となりますが、これは $(3x-4y)(3x+2y)$と同じです。

$9x^2 - 12xy + 6xy - 8y^2 = 9x^2 - 6xy - 8y^2$ となり、与えられた式と一致します。

したがって、$\boxed{\text{エ}} = 4$、$\boxed{\text{オ}} = 2$ となります。

3. 最終的な答え

エ: 4

オ: 2