与えられた式 $\frac{1}{2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ を計算し、分母を有理化して簡単にします。画像には途中計算が示されています。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ を計算し、分母を有理化して簡単にします。画像には途中計算が示されています。

2. 解き方の手順

まず、分母を $2 + \sqrt{3}$ と $\sqrt{7}$ の和として考え、分母の有理化のために、分母と分子に $2 + \sqrt{3} - \sqrt{7}$ を掛けます。

$\frac{1}{2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}} = \frac{2 + \sqrt{3} - \sqrt{7}}{(2 + \sqrt{3} + \sqrt{7})(2 + \sqrt{3} - \sqrt{7})}$

次に、分母を $(2 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2$ として計算します。

$(2 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2 = (4 + 4\sqrt{3} + 3) - 7 = 7 + 4\sqrt{3} - 7 = 4\sqrt{3}$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{2 + \sqrt{3} - \sqrt{7}}{4\sqrt{3}}$

さらに、分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{(2 + \sqrt{3} - \sqrt{7})\sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} + 3 - \sqrt{21}}{4 \cdot 3} = \frac{3 + 2\sqrt{3} - \sqrt{21}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{3 + 2\sqrt{3} - \sqrt{21}}{12}$