$x^2 + 2y^2 = 1$ のとき、$2x + 3y^2$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x^2 + 2y^2 = 1$ のとき、$2x + 3y^2$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 2y^2 = 1$ より、$2y^2 = 1 - x^2$ となります。これを $2x + 3y^2$ に代入することを考えます。

$3y^2 = \frac{3}{2}(1 - x^2)$ となるので、$2x + 3y^2 = 2x + \frac{3}{2}(1 - x^2)$ を $x$ の関数として考えます。

$f(x) = 2x + \frac{3}{2}(1 - x^2) = 2x + \frac{3}{2} - \frac{3}{2}x^2 = -\frac{3}{2}x^2 + 2x + \frac{3}{2}$

ここで、$x^2 + 2y^2 = 1$ より、$x^2 \leq 1$ なので、$-1 \leq x \leq 1$ であることに注意します。

$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -\frac{3}{2}(x^2 - \frac{4}{3}x) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}) + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} = -\frac{3}{2}(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{3}{2} + \frac{2}{3} = -\frac{3}{2}(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{9 + 4}{6} = -\frac{3}{2}(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{13}{6}$

$f(x)$ は $x = \frac{2}{3}$ のとき最大値 $\frac{13}{6}$ をとります。

このとき、$x = \frac{2}{3}$ なので、$2y^2 = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

よって、$y^2 = \frac{5}{18}$ なので、$y = \pm \sqrt{\frac{5}{18}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{6}$

最大値は $\frac{13}{6}$ で、そのときの $x, y$ の値は $x = \frac{2}{3}, y = \pm \frac{\sqrt{10}}{6}$ です。

次に、最小値を考えます。

$f(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 2x + \frac{3}{2}$ の定義域は $-1 \leq x \leq 1$ です。

軸は $x = \frac{2}{3}$ で、定義域の端点は $x = -1$ と $x = 1$ です。

$f(-1) = -\frac{3}{2}(-1)^2 + 2(-1) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} - 2 + \frac{3}{2} = -2$

$f(1) = -\frac{3}{2}(1)^2 + 2(1) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} + 2 + \frac{3}{2} = 2$

よって、最小値は $-2$ で、そのときの $x$ の値は $x = -1$ です。

$2y^2 = 1 - x^2 = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$

よって、$y = 0$

最小値は $-2$ で、そのときの $x, y$ の値は $x = -1, y = 0$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{13}{6}$ ($x = \frac{2}{3}, y = \pm \frac{\sqrt{10}}{6}$ のとき)

最小値: $-2$ ($x = -1, y = 0$ のとき)