与えられた条件を満たす二次関数を求めます。 (1) 頂点が点 $(-2, 1)$ で、点 $(-1, 4)$ を通る。 (2) 軸が直線 $x=2$ で、2点 $(-1, -7)$, $(1, 9)$ を通る。

はい、承知いたしました。それでは、提示された数学の問題を解いていきます。今回は、問題番号 6 を解きます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす二次関数を求めます。

(1) 頂点が点 $(-2, 1)$ で、点 $(-1, 4)$ を通る。

(2) 軸が直線 $x=2$ で、2点 $(-1, -7)$, $(1, 9)$ を通る。

2. 解き方の手順

(1)

頂点が $(-2, 1)$ なので、求める二次関数は $y = a(x+2)^2 + 1$ と表せます。

このグラフが点 $(-1, 4)$ を通るので、これを代入して $a$ を求めます。

$4 = a(-1+2)^2 + 1$

$4 = a(1)^2 + 1$

$4 = a + 1$

$a = 3$

よって、求める二次関数は $y = 3(x+2)^2 + 1$ です。

これを展開すると、

$y = 3(x^2 + 4x + 4) + 1$

$y = 3x^2 + 12x + 12 + 1$

$y = 3x^2 + 12x + 13$

(2)

軸が直線 $x=2$ なので、求める二次関数は $y = a(x-2)^2 + q$ と表せます。

このグラフが点 $(-1, -7)$, $(1, 9)$ を通るので、これらを代入して $a$ と $q$ を求めます。

$-7 = a(-1-2)^2 + q$

$-7 = a(-3)^2 + q$

$-7 = 9a + q$ (1)

$9 = a(1-2)^2 + q$

$9 = a(-1)^2 + q$

$9 = a + q$ (2)

(1) - (2) より

$-7 - 9 = 9a + q - (a + q)$

$-16 = 8a$

$a = -2$

(2) に代入して

$9 = -2 + q$

$q = 11$

よって、求める二次関数は $y = -2(x-2)^2 + 11$ です。

これを展開すると、

$y = -2(x^2 - 4x + 4) + 11$

$y = -2x^2 + 8x - 8 + 11$

$y = -2x^2 + 8x + 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x^2 + 12x + 13$

(2) $y = -2x^2 + 8x + 3$