長方形の厚紙ABCDがあり、AB=$x$ cm、AD=$2x$ cmです。この厚紙の4つの角から一辺が2 cmの正方形を切り取り、折り曲げて直方体の容器を作ります。この直方体の容積が96 $cm^3$になるときの$x$の値を求めなさい。

1. 問題の内容

長方形の厚紙ABCDがあり、AB=$x$ cm、AD=$2x$ cmです。この厚紙の4つの角から一辺が2 cmの正方形を切り取り、折り曲げて直方体の容器を作ります。この直方体の容積が96 $cm^3$になるときの$x$の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、直方体の底面の縦と横の長さを求めます。

縦の長さは$x - 2 \times 2 = x - 4$ (cm)

横の長さは$2x - 2 \times 2 = 2x - 4$ (cm)

高さは2 cmとなります。

したがって、直方体の容積は

$2(x - 4)(2x - 4) = 96$

両辺を2で割ると

$(x - 4)(2x - 4) = 48$

$2x^2 - 4x - 8x + 16 = 48$

$2x^2 - 12x - 32 = 0$

両辺を2で割ると

$x^2 - 6x - 16 = 0$

$(x - 8)(x + 2) = 0$

$x = 8, -2$

$x$は長さなので、$x>0$でなければならないから、$x=8$

3. 最終的な答え

$x = 8$