(2) 関数 $f(x) = 3^x$ と $g(x) = \log_3 |x|$ に対して、合成関数 $g(3f(x))$ と $f(3g(x))$ を求める。 (3) 関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+3}$ とするとき、$f(f(x)) = x$ を満たす $x$ をすべて求める。

1. 問題の内容

(2) 関数 $f(x) = 3^x$ と $g(x) = \log_3 |x|$ に対して、合成関数 $g(3f(x))$ と $f(3g(x))$ を求める。

(3) 関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+3}$ とするとき、$f(f(x)) = x$ を満たす $x$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

(2)

まず、$g(3f(x))$ を求める。$f(x) = 3^x$ なので、$3f(x) = 3 \cdot 3^x = 3^{x+1}$ である。

したがって、

$g(3f(x)) = g(3^{x+1}) = \log_3 |3^{x+1}| = \log_3 (3^{x+1}) = x+1$

次に、$f(3g(x))$ を求める。$g(x) = \log_3 |x|$ なので、$3g(x) = 3 \log_3 |x| = \log_3 |x|^3 = \log_3 |x^3|$ である。

したがって、

$f(3g(x)) = f(\log_3 |x^3|) = 3^{\log_3 |x^3|} = |x^3|$

(3)

まず、$f(f(x))$ を求める。

$f(x) = \frac{3x+2}{x+3}$ なので、

$f(f(x)) = f(\frac{3x+2}{x+3}) = \frac{3(\frac{3x+2}{x+3})+2}{\frac{3x+2}{x+3}+3} = \frac{\frac{9x+6+2(x+3)}{x+3}}{\frac{3x+2+3(x+3)}{x+3}} = \frac{9x+6+2x+6}{3x+2+3x+9} = \frac{11x+12}{6x+11}$

$f(f(x)) = x$ を満たす $x$ を求めるので、

$\frac{11x+12}{6x+11} = x$

$11x+12 = x(6x+11)$

$11x+12 = 6x^2+11x$

$6x^2 = 12$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(2)

$g(3f(x)) = x+1$

$f(3g(x)) = |x^3|$

(3)

$x = \sqrt{2}, -\sqrt{2}$