与えられた式 $(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)$ を展開して整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)$ を展開して整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、適切な組み合わせで式を計算し、展開を容易にする。

$(x-1)$ と $(x+3)$, $(x-2)$ と $(x+6)$ をそれぞれ計算すると、定数項の和が等しくなるように工夫できる。

ステップ1: $(x-1)(x+3)$ を計算する。

$(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$

ステップ2: $(x-2)(x+6)$ を計算する。

$(x-2)(x+6) = x^2 + 6x - 2x - 12 = x^2 + 4x - 12$

ステップ3: ステップ1とステップ2の結果を掛け合わせる。

$(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 4x - 12) = x^2(x^2 + 4x - 12) + 2x(x^2 + 4x - 12) - 3(x^2 + 4x - 12)$

ステップ4: それぞれの項を展開する。

$x^2(x^2 + 4x - 12) = x^4 + 4x^3 - 12x^2$

$2x(x^2 + 4x - 12) = 2x^3 + 8x^2 - 24x$

$-3(x^2 + 4x - 12) = -3x^2 - 12x + 36$

ステップ5: 全ての項を足し合わせる。

$(x^4 + 4x^3 - 12x^2) + (2x^3 + 8x^2 - 24x) + (-3x^2 - 12x + 36) = x^4 + (4x^3 + 2x^3) + (-12x^2 + 8x^2 - 3x^2) + (-24x - 12x) + 36$

ステップ6: 同類項をまとめる。

$x^4 + 6x^3 - 7x^2 - 36x + 36$

3. 最終的な答え

$x^4 + 6x^3 - 7x^2 - 36x + 36$