与えられた式 $(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1})^2 + (\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1})^2$ を計算して簡略化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1})^2 + (\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1})^2$ を計算して簡略化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の中の分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{2} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{2} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$

次に、これらの結果を元の式に代入して計算します。

$(2+\sqrt{3})^2 + (2-\sqrt{3})^2 = (4 + 4\sqrt{3} + 3) + (4 - 4\sqrt{3} + 3) = 7 + 4\sqrt{3} + 7 - 4\sqrt{3} = 14$

3. 最終的な答え

14