与えられた多項式を以下のように変形する。
\begin{align*}
x^2 + xy - 10x - 5y + 25 &= x(x + y) - 10x - 5y + 25 \\
&= x(x+y) - 5(2x + y - 5)
\end{align*}
このままでは因数分解できないので、異なるアプローチを試みる。
x2+xy−10x−5y+25 を x について整理すると、 x2+(y−10)x+(25−5y) となる。
ここで、(x−ア)(x+y−イ) を展開すると、 (x−ア)(x+y−イ)=x2+xy−イx−アx−アy+アイ=x2+xy−(ア+イ)x−アy+アイ 与式と比較すると、
\begin{align*}
y - 10 &= -(ア + イ) \\
25 - 5y &= -アy + アイ
\end{align*}
これらの式からアとイを求める。2番目の式から 25−5y=−アy+アイ より、ア= 5を仮定すると、25−5y=−5y+5イ。 よって、25=5イより イ=5が得られる。 ア=5とイ=5を最初の式 y−10=−(ア+イ) に代入すると、y−10=−(5+5)=−10 となるが、これは y=0 を意味し、yが定数ではないので矛盾する。 改めて与式を変形する。
x2+xy−10x−5y+25=x2−10x+25+xy−5y=(x−5)2+y(x−5)=(x−5)(x−5+y)=(x−5)(x+y−5) したがって、ア=5、イ=5。 