100円硬貨が4枚、50円硬貨が3枚、10円硬貨が2枚あるとき、これらの硬貨の全部または一部を使って支払うことができる金額の種類は何通りあるか。ただし、50円硬貨2枚と100円硬貨1枚は同じ金額になることに注意する。

1. 問題の内容

100円硬貨が4枚、50円硬貨が3枚、10円硬貨が2枚あるとき、これらの硬貨の全部または一部を使って支払うことができる金額の種類は何通りあるか。ただし、50円硬貨2枚と100円硬貨1枚は同じ金額になることに注意する。

2. 解き方の手順

まず、100円硬貨、50円硬貨、10円硬貨のそれぞれの選び方のパターン数を考えます。

* 100円硬貨：0枚、1枚、2枚、3枚、4枚の5通り

* 50円硬貨：0枚、1枚、2枚、3枚の4通り

* 10円硬貨：0枚、1枚、2枚の3通り

これらの組み合わせの総数は、$5 \times 4 \times 3 = 60$通りです。

しかし、この中には1枚も硬貨を選ばない「0円」の場合が含まれていますので、それを除くと$60 - 1 = 59$通りです。

次に、50円硬貨2枚が100円硬貨1枚と同じ金額になることを考慮して、重複している金額がないか確認します。

50円硬貨を2枚使う場合は、100円硬貨1枚として考えることができます。

したがって、50円硬貨が2枚以上ある場合、100円硬貨に置き換えることを考えます。

50円硬貨の枚数を、0枚または1枚として考えることで、金額の重複を避けることができます。

この時、100円硬貨は、0枚、1枚、2枚、3枚、4枚の５通り選べることに加え、50円硬貨２枚を100円硬貨一枚として扱えるので、合計で$4 + 1 = 5$枚まで100円硬貨を扱うことができます。

したがって、100円硬貨の選び方は、0枚から5枚までの6通りとなります。

そこで、50円硬貨の枚数を0枚または1枚に限定し、100円硬貨の枚数を0枚から5枚、10円硬貨の枚数を0枚から2枚として計算します。

* 100円硬貨：0枚、1枚、2枚、3枚、4枚、5枚の6通り

* 50円硬貨：0枚、1枚の2通り

* 10円硬貨：0枚、1枚、2枚の3通り

この場合の組み合わせの総数は、$6 \times 2 \times 3 = 36$通りです。

この中には1枚も硬貨を選ばない「0円」の場合が含まれていますので、それを除くと$36 - 1 = 35$通りです。

したがって、支払うことができる金額の種類は35通りとなります。

3. 最終的な答え

35通り