画像には、分数の計算と根号を含む計算の2種類があります。それぞれ以下の通りです。 **1. 分数の計算** (1) $\frac{2}{3} - \frac{1}{4}$ (2) $\frac{1}{10} \div \frac{1}{2} \times (-\frac{5}{2})$ (3) $(-3)^2 + (-3^2)$ (4) $\frac{x-1}{2} - \frac{x-3}{3}$ (5) $1 + \frac{1}{1+\frac{1}{2}}$ **2. 根号の計算** (1) $\sqrt{3} \times \sqrt{6}$ (2) $\sqrt{135} \div \sqrt{15}$ (3) $-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{\sqrt{3}}$ (4) $(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 3)$ (5) $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$ (6) $(3\sqrt{2} + 2)(3\sqrt{2} - 2)$ (7) $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像には、分数の計算と根号を含む計算の2種類があります。それぞれ以下の通りです。

**

1. 分数の計算**

(1) $\frac{2}{3} - \frac{1}{4}$

(2) $\frac{1}{10} \div \frac{1}{2} \times (-\frac{5}{2})$

(3) $(-3)^2 + (-3^2)$

(4) $\frac{x-1}{2} - \frac{x-3}{3}$

(5) $1 + \frac{1}{1+\frac{1}{2}}$

**

2. 根号の計算**

(1) $\sqrt{3} \times \sqrt{6}$

(2) $\sqrt{135} \div \sqrt{15}$

(3) $-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{\sqrt{3}}$

(4) $(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 3)$

(5) $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$

(6) $(3\sqrt{2} + 2)(3\sqrt{2} - 2)$

(7) $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

**

1. 分数の計算**

(1) 通分して計算します。

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$

(2) 割り算を掛け算に直し、計算します。

$\frac{1}{10} \div \frac{1}{2} \times (-\frac{5}{2}) = \frac{1}{10} \times 2 \times (-\frac{5}{2}) = \frac{1}{10} \times (-\frac{10}{2}) = -\frac{1}{2}$

(3) 指数の計算の順番に注意します。

$(-3)^2 + (-3^2) = 9 + (-9) = 0$

(4) 通分して計算します。

$\frac{x-1}{2} - \frac{x-3}{3} = \frac{3(x-1)}{6} - \frac{2(x-3)}{6} = \frac{3x-3 - (2x-6)}{6} = \frac{3x-3-2x+6}{6} = \frac{x+3}{6}$

(5) 分母の分数を先に計算します。

$1 + \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{\frac{3}{2}} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$

**

2. 根号の計算**

(1) 根号の中身を掛け算します。

$\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

(2) 根号の中身を割り算します。

$\sqrt{135} \div \sqrt{15} = \sqrt{\frac{135}{15}} = \sqrt{9} = 3$

(3) 通分し、分母の有理化を行います。

$-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{6} + \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

(4) 展開します。

$(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 3) = (\sqrt{6})^2 - 3\sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 6 = 6 - \sqrt{6} - 6 = -\sqrt{6}$

(5) 展開します。

$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$

(6) 和と差の積の公式を利用します。

$(3\sqrt{2} + 2)(3\sqrt{2} - 2) = (3\sqrt{2})^2 - 2^2 = 9 \times 2 - 4 = 18 - 4 = 14$

(7) それぞれの分母を有理化してから計算します。

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} - \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} - \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3} + \sqrt{2} - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

**

1. 分数の計算**

(1) $\frac{5}{12}$

(2) $-\frac{1}{2}$

(3) $0$

(4) $\frac{x+3}{6}$

(5) $\frac{5}{3}$

**

2. 根号の計算**

(1) $3\sqrt{2}$

(2) $3$

(3) $\frac{\sqrt{3}}{6}$

(4) $-\sqrt{6}$

(5) $5 - 2\sqrt{6}$

(6) $14$

(7) $2\sqrt{2}$