1, 2, 3, 4の4つの数字を使って3桁の整数を作る問題です。 (1) 同じ数字を繰り返し使っても良い場合に、3桁の整数は何個作れるか。 (2) 異なる3つの数字を使う場合に、3桁の整数は何個作れるか。 (3) (1)の場合の3桁の整数の中から1つを選んだとき、それが2種類の数字から作られる整数である確率を求めよ。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4の4つの数字を使って3桁の整数を作る問題です。

(1) 同じ数字を繰り返し使っても良い場合に、3桁の整数は何個作れるか。

(2) 異なる3つの数字を使う場合に、3桁の整数は何個作れるか。

(3) (1)の場合の3桁の整数の中から1つを選んだとき、それが2種類の数字から作られる整数である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

各桁は1, 2, 3, 4のいずれかの数字を選べるので、各桁に4つの選択肢があります。3桁の整数を作るので、それぞれの桁の選択肢の数を掛け合わせます。

$4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$

(2)

3桁の整数を作るので、百の位、十の位、一の位の順に数字を選んでいきます。

百の位は4つの数字から1つ選ぶので4通り。

十の位は百の位で選んだ数字以外の3つの数字から1つ選ぶので3通り。

一の位は百の位と十の位で選んだ数字以外の2つの数字から1つ選ぶので2通り。

よって、3桁の整数は全部で

$4 \times 3 \times 2 = 24$個作れます。

(3)

(1)の場合の3桁の整数は全部で64個です。

2種類の数字から作られる整数を数えます。

まず、使う2種類の数字の選び方は $_{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

選んだ2つの数字をa, bとします。

3桁の整数は、aaa, aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbbの8通り作れます。

しかし、aaaとbbbは1種類の数字からなるので、これらを除くと6通りです。

従って、2種類の数字から作られる3桁の整数は $6 \times 6 = 36$個です。

確率は

$\frac{36}{64} = \frac{9}{16}$

3. 最終的な答え

(1) 64個

(2) 24個

(3) $\frac{9}{16}$