与えられた6つの二重根号の式を簡単にします。具体的には、以下の式をそれぞれ簡略化します。 (1) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{6 - 2\sqrt{8}}$ (3) $\sqrt{7 + \sqrt{24}}$ (4) $\sqrt{7 - \sqrt{48}}$ (5) $\sqrt{11 + 4\sqrt{7}}$ (6) $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた6つの二重根号の式を簡単にします。具体的には、以下の式をそれぞれ簡略化します。

(1) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{6 - 2\sqrt{8}}$

(3) $\sqrt{7 + \sqrt{24}}$

(4) $\sqrt{7 - \sqrt{48}}$

(5) $\sqrt{11 + 4\sqrt{7}}$

(6) $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

二重根号を外すには、$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$ の公式を利用するか、$a \pm 2\sqrt{b}$ の形の根号の中身が$(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2 = x + y \pm 2\sqrt{xy}$となるように変形し、$x+y = a$ かつ $xy = b$ となる$x$と$y$を見つけることを目指します。

(1) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$

$4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} + 1)^2$

$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1$

(2) $\sqrt{6 - 2\sqrt{8}}$

$\sqrt{6 - 2\sqrt{8}} = \sqrt{6 - 2\sqrt{4*2}} = \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}$

二重根号の公式を使うには、まず$\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$の形にする必要があります。$\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{6 - 2\sqrt{8}} = \sqrt{4+2 - 2\sqrt{4*2}} = \sqrt{2^2+(\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} * 2}$

$6 - 2\sqrt{8} = (2 - \sqrt{2})^2$.

$\sqrt{6 - 2\sqrt{8}} = |2-\sqrt{2}| = 2-\sqrt{2}$.

(3) $\sqrt{7 + \sqrt{24}} = \sqrt{7 + 2\sqrt{6}}$

$7 + 2\sqrt{6} = (1 + \sqrt{6})^2$

$\sqrt{7 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{6} + 1$

(4) $\sqrt{7 - \sqrt{48}} = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{7 - 2\sqrt{12}}$

$7 - 2\sqrt{12} = (\sqrt{4} - \sqrt{3})^2 = (2 - \sqrt{3})^2$

$\sqrt{7 - 2\sqrt{12}} = 2 - \sqrt{3}$

(5) $\sqrt{11 + 4\sqrt{7}} = \sqrt{11 + 2\sqrt{4*7}} = \sqrt{11 + 2\sqrt{28}}$

$11 + 2\sqrt{28} = (\sqrt{4} + \sqrt{7})^2 = (2 + \sqrt{7})^2$

$\sqrt{11 + 2\sqrt{28}} = 2 + \sqrt{7}$

(6) $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$

$\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{6 - 2\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} + 1$

(2) $2 - \sqrt{2}$

(3) $\sqrt{6} + 1$

(4) $2 - \sqrt{3}$

(5) $2 + \sqrt{7}$

(6) $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$