長さ1.0 mの軽い棒の両端A, Bにそれぞれ3.0 kg, 2.0 kgのおもりをつるし、点Oにばね定数250 N/mのつるまきばねをつけてつるしたところ、棒は水平になって静止した。ばねの伸びを求めよ。重力加速度の大きさは $g = 9.8 m/s^2$ とする。

1. 問題の内容

長さ1.0 mの軽い棒の両端A, Bにそれぞれ3.0 kg, 2.0 kgのおもりをつるし、点Oにばね定数250 N/mのつるまきばねをつけてつるしたところ、棒は水平になって静止した。ばねの伸びを求めよ。重力加速度の大きさは $g = 9.8 m/s^2$ とする。

2. 解き方の手順

棒の長さを$L$、AからOまでの距離を$x$とする。BからOまでの距離は$L - x$となる。

棒が水平になっているので、点Oの周りの力のモーメントの和は0である。

Aにつるされたおもりの重さは $3.0 kg \times g = 3.0 kg \times 9.8 m/s^2 = 29.4 N$ である。

Bにつるされたおもりの重さは $2.0 kg \times g = 2.0 kg \times 9.8 m/s^2 = 19.6 N$ である。

モーメントの釣り合いの式は次のようになる。

$$

3. 0 kg \times g \times x = 2.0 kg \times g \times (L - x)$

$$

3. 0 \times x = 2.0 \times (1.0 - x)$

$$

3. 0x = 2.0 - 2.0x$

$$

5. 0x = 2.0$

$x = 0.40 m$

したがって、AからOまでの距離は$0.40 m$である。BからOまでの距離は$1.0 - 0.40 = 0.60 m$である。

ばねの張力を$T$とする。棒に働く力の釣り合いの式は次のようになる。

$T = 3.0 kg \times g + 2.0 kg \times g = 5.0 kg \times g = 5.0 kg \times 9.8 m/s^2 = 49 N$

ばねの伸びを$\Delta x$とすると、フックの法則より $T = k \Delta x$が成り立つ。ここで、$k$はばね定数である。

$\Delta x = \frac{T}{k} = \frac{49 N}{250 N/m} = 0.196 m$

有効数字2桁で表すと、$\Delta x = 0.20 m$

3. 最終的な答え

0.20 m