2桁の整数 $A$ と $B$ があり、$A$ と $B$ の和は $168$ で、最大公約数は $14$ です。$A$ が $B$ より大きいとき、整数 $A$ を求めてください。

1. 問題の内容

2桁の整数 $A$ と $B$ があり、$A$ と $B$ の和は $168$ で、最大公約数は $14$ です。$A$ が $B$ より大きいとき、整数 $A$ を求めてください。

2. 解き方の手順

$A$ と $B$ の最大公約数が $14$ なので、$A = 14a$、$B = 14b$ と表せます。ここで、$a$ と $b$ は互いに素な整数です。

$A + B = 168$ なので、$14a + 14b = 168$ となります。

両辺を $14$ で割ると、$a + b = 12$ となります。

$A$ と $B$ は2桁の整数なので、$10 \le A \le 99$、$10 \le B \le 99$ となります。

したがって、$10 \le 14a \le 99$、$10 \le 14b \le 99$ となります。

これを満たす $a$ と $b$ は、$1 \le a \le 7$、$1 \le b \le 7$ の整数となります。

また、$A > B$ なので、$a > b$ です。

$a + b = 12$ かつ $a > b$ かつ $1 \le a, b \le 7$ を満たす $a$ と $b$ の組は、

$(a, b) = (7, 5)$ しかありません。

したがって、$A = 14 \times 7 = 98$ です。

3. 最終的な答え

98