けんじくんが一人で仕事をすると40日、こうじくんが一人で仕事をすると45日かかる仕事があります。この仕事をけんじくんとこうじくんが1日ずつ交代で行います。1日目にけんじくんから仕事を始めるとき、この仕事が終わるのは何日目ですか。

1. 問題の内容

けんじくんが一人で仕事をすると40日、こうじくんが一人で仕事をすると45日かかる仕事があります。この仕事をけんじくんとこうじくんが1日ずつ交代で行います。1日目にけんじくんから仕事を始めるとき、この仕事が終わるのは何日目ですか。

2. 解き方の手順

まず、全体の仕事量を1とする。

けんじくんが1日にする仕事量は $\frac{1}{40}$ 。

こうじくんが1日にする仕事量は $\frac{1}{45}$ 。

2日間で2人がする仕事量は $\frac{1}{40} + \frac{1}{45}$ となる。

$\frac{1}{40} + \frac{1}{45} = \frac{9}{360} + \frac{8}{360} = \frac{17}{360}$

2日間で全体の $\frac{17}{360}$ の仕事が終わる。

$n$ を自然数として、2$n$日間で終わる仕事量は $\frac{17}{360} \times n$ となる。

$\frac{17}{360} \times n < 1$ を満たす最大の $n$ を求める。

$\frac{17}{360} \times 21 = \frac{357}{360} < 1$

$\frac{17}{360} \times 22 = \frac{374}{360} > 1$

よって、42日間では $\frac{357}{360}$ の仕事が終わる。

残りの仕事量は $1 - \frac{357}{360} = \frac{3}{360} = \frac{1}{120}$。

43日目にけんじくんが仕事をする。けんじくんは1日に $\frac{1}{40}$ の仕事をするので、 $\frac{1}{120}$ の仕事をするのにかかる日数は、

$\frac{1}{120} \div \frac{1}{40} = \frac{1}{120} \times 40 = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}$ 日。

よって、43日目には仕事が終わる。

3. 最終的な答え

43日目