5円硬貨が4枚、10円硬貨が3枚、100円硬貨が2枚あるとき、これらの硬貨の一部または全部を使って支払うことができる金額は何通りあるか。

1. 問題の内容

5円硬貨が4枚、10円硬貨が3枚、100円硬貨が2枚あるとき、これらの硬貨の一部または全部を使って支払うことができる金額は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの硬貨で作れる金額のパターンを考えます。

* 5円硬貨：0円, 5円, 10円, 15円, 20円 (5通り)

* 10円硬貨：0円, 10円, 20円, 30円 (4通り)

* 100円硬貨：0円, 100円, 200円 (3通り)

それぞれの硬貨の組み合わせで作れる金額のパターンは、積の法則により $5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りとなります。

ただし、この中にはすべての硬貨を1枚も使わない「0円」の場合が含まれています。問題文では「一部または全部」とあるので、0円の場合を除外する必要があります。したがって、$60 - 1 = 59$ 通りとなります。

しかし、これでは金額が重複している可能性があります。

それぞれの金額を小さい順に書き出すと、

* 5円硬貨：0, 5, 10, 15, 20

* 10円硬貨：0, 10, 20, 30

* 100円硬貨：0, 100, 200

作れる金額の種類をすべて書き出すのは大変なので、別のアプローチを取ります。

考え方を変えて、各硬貨で作れる金額の最大値を計算し、その範囲内の金額がすべて作れるかを考えます。

* 5円硬貨の最大金額：$5 \times 4 = 20$ 円

* 10円硬貨の最大金額：$10 \times 3 = 30$ 円

* 100円硬貨の最大金額：$100 \times 2 = 200$ 円

合計の最大金額は $20 + 30 + 200 = 250$ 円です。

5円硬貨、10円硬貨、100円硬貨のそれぞれの金額のパターン数を掛け合わせると、全部で $5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りの金額が考えられます。ただし、この中には0円が含まれているので、0円の場合を除くと $60 - 1 = 59$ 通りです。

ここで、5円玉と10円玉の組み合わせで、作れない金額がないかを確認します。5円玉4枚と10円玉3枚で作れる金額は、0円から50円まで、すべての5円単位の金額を作ることができます。

具体的には、

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

となります。

100円硬貨は、0円、100円、200円の3パターンです。

したがって、上記で作れる金額それぞれに、0円、100円、200円を足したものが、作れる金額の種類となります。

0円を加える場合は、上記の通り。

100円を加える場合は、100, 105, 110, ..., 150

200円を加える場合は、200, 205, 210, ..., 250

これらをすべてまとめると、0円から250円まで、すべての5円単位の金額を作ることができます。

ただし、0円は除きますので、1円から250円の間で、5円単位で作れる金額の数は、

$250 \div 5 = 50$ 通り。

ここで、5円玉, 10円玉, 100円玉のそれぞれで作れる金額の種類を計算します。

5円玉: 0, 5, 10, 15, 20 (5種類)

10円玉: 0, 10, 20, 30 (4種類)

100円玉: 0, 100, 200 (3種類)

全部で $5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りの組み合わせがありますが、0円の場合を除くと $60 - 1 = 59$ 通りです。

3. 最終的な答え

59通り