ある中学校の3年生の男女比は $6:5$ である。部活動をしている男女比は $8:7$ で、部活動をしていない男女比は $3:2$ である。3年生全体で部活動をしている人数が450人であるとき、3年生全体の人数を求めよ。

1. 問題の内容

ある中学校の3年生の男女比は $6:5$ である。部活動をしている男女比は $8:7$ で、部活動をしていない男女比は $3:2$ である。3年生全体で部活動をしている人数が450人であるとき、3年生全体の人数を求めよ。

2. 解き方の手順

3年生の男子の人数を $6x$, 女子の人数を $5x$ とおく。3年生全体の人数は $11x$ となる。

部活動をしている男子の人数を $8y$, 女子の人数を $7y$ とおく。部活動をしている人数は $8y + 7y = 15y$ で、これは450人に等しいので、

$15y = 450$

$y = 30$

したがって、部活動をしている男子の人数は $8 \times 30 = 240$ 人、女子の人数は $7 \times 30 = 210$ 人である。

部活動をしていない男子の人数を $3z$, 女子の人数を $2z$ とおく。

男子の人数について、

$6x = 240 + 3z$

$3z = 6x - 240$

$z = 2x - 80$

女子の人数について、

$5x = 210 + 2z$

$2z = 5x - 210$

$z = \frac{5}{2}x - 105$

したがって、

$2x - 80 = \frac{5}{2}x - 105$

$4x - 160 = 5x - 210$

$x = 50$

3年生全体の人数は $11x$ なので、

$11 \times 50 = 550$

3. 最終的な答え

550 人