整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが3、$x+3$ で割ると余りが-1である。このとき、$P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが3、$x+3$ で割ると余りが-1である。このとき、$P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-1)(x+3)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ とすると、

$$P(x) = (x-1)(x+3)Q(x) + ax + b$$

と表せる。

$P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが3であるから、剰余の定理より

$$P(1) = a(1) + b = a + b = 3$$

$P(x)$ を $x+3$ で割ると余りが-1であるから、剰余の定理より

$$P(-3) = a(-3) + b = -3a + b = -1$$

この連立方程式を解く。

$$a+b=3$$

$$-3a+b=-1$$

1番目の式から2番目の式を引くと、

$$(a+b)-(-3a+b) = 3 - (-1)$$

$$4a = 4$$

$$a = 1$$

$a=1$ を $a+b=3$ に代入すると、

$$1+b = 3$$

$$b = 2$$

よって、余りは $ax+b = x+2$ である。

3. 最終的な答え

$x+2$