与えられた不等式 $x^2 + (a-1)x + 4 < 0$ を満たす定数 $a$ の範囲を、以下の2つの条件で求めます。 (1) 不等式が解を持たない。 (2) $1 \le x \le 2$ のすべての $x$ について不等式が成り立つ。

代数学二次不等式判別式二次関数不等式の解最大値・最小値
2025/8/14

1. 問題の内容

与えられた不等式 x2+(a1)x+4<0x^2 + (a-1)x + 4 < 0 を満たす定数 aa の範囲を、以下の2つの条件で求めます。
(1) 不等式が解を持たない。
(2) 1x21 \le x \le 2 のすべての xx について不等式が成り立つ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 x2+(a1)x+4<0x^2 + (a-1)x + 4 < 0 が解を持たない条件を考えます。これは、f(x)=x2+(a1)x+4f(x) = x^2 + (a-1)x + 4 とおくと、f(x)0f(x) \ge 0 がすべての xx について成り立つということです。これは、放物線 y=f(x)y = f(x)xx 軸と交わらないか、接していることを意味します。判別式 D0D \le 0 となる条件を求めます。
D=(a1)2414=(a1)2160D = (a-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = (a-1)^2 - 16 \le 0
(a1)216(a-1)^2 \le 16
4a14-4 \le a-1 \le 4
3a5-3 \le a \le 5
(2) 1x21 \le x \le 2 のすべての xx について x2+(a1)x+4<0x^2 + (a-1)x + 4 < 0 が成り立つ条件を求めます。これは、f(1)<0f(1) < 0 かつ f(2)<0f(2) < 0 であれば良いわけではありません。f(x)f(x) の最小値が0より小さければ良いです。
f(1)=1+(a1)+4=a+4<0f(1) = 1 + (a-1) + 4 = a + 4 < 0 より a<4a < -4
f(2)=4+2(a1)+4=2a+6<0f(2) = 4 + 2(a-1) + 4 = 2a + 6 < 0 より a<3a < -3
f(x)=x2+(a1)x+4=(x+a12)2(a12)2+4f(x) = x^2 + (a-1)x + 4 = (x + \frac{a-1}{2})^2 - (\frac{a-1}{2})^2 + 4
x=a12x = - \frac{a-1}{2}
i) a12<1- \frac{a-1}{2} < 1 つまり a>1a > -1のとき、f(1)=a+4<0f(1) = a + 4 < 0 より a<4 a < -4 これは不適
ii) 1a1221 \le - \frac{a-1}{2} \le 2 つまり 5a1-5 \le a \le -1のとき、f(a12)=(a12)2+4<0f(- \frac{a-1}{2}) = - (\frac{a-1}{2})^2 + 4 < 0 つまり (a12)2>4(\frac{a-1}{2})^2 > 4 より (a1)2>16(a-1)^2 > 16 より a1>4a-1 > 4 または a1<4a-1 < -4
つまり a>5a > 5 または a<3a < -3。よって、5a<3-5 \le a < -3
iii) a12>2- \frac{a-1}{2} > 2 つまり a<3a < -3のとき、f(2)=2a+6<0f(2) = 2a + 6 < 0 より a<3 a < -3
このとき、f(2)=2a+6<0f(2) = 2a+6 < 0 が必要十分なので、a<3a < -3

3. 最終的な答え

(1) 3a5-3 \le a \le 5
(2) a<3a < -3

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