与えられた不等式 $x^2 + (a-1)x + 4 < 0$ を満たす定数 $a$ の範囲を、以下の2つの条件で求めます。 (1) 不等式が解を持たない。 (2) $1 \le x \le 2$ のすべての $x$ について不等式が成り立つ。
2025/8/14
1. 問題の内容
与えられた不等式 を満たす定数 の範囲を、以下の2つの条件で求めます。
(1) 不等式が解を持たない。
(2) のすべての について不等式が成り立つ。
2. 解き方の手順
(1) 不等式 が解を持たない条件を考えます。これは、 とおくと、 がすべての について成り立つということです。これは、放物線 が 軸と交わらないか、接していることを意味します。判別式 となる条件を求めます。
(2) のすべての について が成り立つ条件を求めます。これは、 かつ であれば良いわけではありません。 の最小値が0より小さければ良いです。
より
より
軸
i) つまり のとき、 より これは不適
ii) つまり のとき、 つまり より より または
つまり または 。よって、
iii) つまり のとき、 より
このとき、 が必要十分なので、
3. 最終的な答え
(1)
(2)