問題は以下の3つの部分に分かれています。 [1] 3点(1, 4), (-1, -2), (-2, 1)を通る放物線の方程式を求め、その係数を答える問題です。 [2] 関数 $y = 2x^2 - 8x + 3$ (定義域 $0 \le x \le a$) について、軸、最小値、最大値を求める問題です。 [3] 2次不等式 $m(x+2) > -(x^2+2x+1)$ の解がすべての実数となるような定数 $m$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は以下の3つの部分に分かれています。

[1] 3点(1, 4), (-1, -2), (-2, 1)を通る放物線の方程式を求め、その係数を答える問題です。

[2] 関数 $y = 2x^2 - 8x + 3$ (定義域 $0 \le x \le a$) について、軸、最小値、最大値を求める問題です。

[3] 2次不等式 $m(x+2) > -(x^2+2x+1)$ の解がすべての実数となるような定数 $m$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

[1]

求める放物線を $y = Ax^2 + Bx + C$ とおきます。3点の座標を代入して連立方程式を立てます。

* (1, 4) を代入: $A + B + C = 4$

* (-1, -2) を代入: $A - B + C = -2$

* (-2, 1) を代入: $4A - 2B + C = 1$

1つ目の式から2つ目の式を引くと $2B = 6$ より $B = 3$ が得られます。

1つ目の式から3つ目の式を引くと $-3A + 3B = 3$ より $-3A + 9 = 3$ なので $A=2$ が得られます。

$A + B + C = 4$ に $A = 2, B = 3$ を代入すると $2 + 3 + C = 4$ より $C = -1$ が得られます。

したがって、$y = 2x^2 + 3x - 1$ です。

[2]

$y = 2x^2 - 8x + 3 = 2(x^2 - 4x) + 3 = 2(x^2 - 4x + 4) + 3 - 8 = 2(x - 2)^2 - 5$

(1) 軸は $x = 2$

(2)

(i) $0 < a < 2$ のとき、最小値は $x = a$ でとる。$y = 2a^2 - 8a + 3$。

(ii) $2 \le a$ のとき、最小値は $x = 2$ でとる。$y = -5$。

(3)

(i) $0 < a < 4$ のとき、$x=0$で最大値をとる。$y = 3$。

(ii) $a = 4$ のとき、$x=0$で最大値をとる。$y = 3$。

(iii) $4 < a$ のとき、$x = a$ で最大値をとる。$y = 2a^2 - 8a + 3$。

[3]

$m(x+2) > -(x^2 + 2x + 1)$

$m(x+2) > -(x+1)^2$

$m(x+2) + (x+1)^2 > 0$

$x^2 + (2 + m)x + (1 + 2m) > 0$

これがすべての実数 $x$ で成り立つためには、判別式 $D < 0$ である必要があります。

$D = (2+m)^2 - 4(1 + 2m) = m^2 + 4m + 4 - 4 - 8m = m^2 - 4m = m(m-4)$

$m(m-4) < 0$ より $0 < m < 4$。

3. 最終的な答え

[1] ア：2, イ：3, ウ：1

[2] エ：4, オ：7, カ：9, キ：2, ク：6, ケ：0, コ：3, サ：0, シ：0, ス：3, セ：7, ソ：9

[3] タ：0, チ：4