数列 $\{a_n\}$ の初項 $a_1$ から第 $n$ 項 $a_n$ までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + 3n^2 + 2n$ であるとする。 (1) $a_1, a_2$ を求めよ。 (2) 一般項 $a_n$ を求めよ。 (3) $\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{a_k}$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項 $a_1$ から第 $n$ 項 $a_n$ までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + 3n^2 + 2n$ であるとする。

(1) $a_1, a_2$ を求めよ。

(2) 一般項 $a_n$ を求めよ。

(3) $\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{a_k}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$ と $a_2$ を求める。

$a_1$ は初項なので、$a_1 = S_1$ で求められる。

$S_1 = 1^3 + 3(1)^2 + 2(1) = 1 + 3 + 2 = 6$

したがって、$a_1 = 6$

$a_2$ は $S_2 - S_1$ で求められる。

$S_2 = 2^3 + 3(2)^2 + 2(2) = 8 + 12 + 4 = 24$

$a_2 = S_2 - S_1 = 24 - 6 = 18$

したがって、$a_2 = 18$

(2) 一般項 $a_n$ を求める。

$a_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \ge 2$) より、

$a_n = (n^3 + 3n^2 + 2n) - ((n-1)^3 + 3(n-1)^2 + 2(n-1))$

$= (n^3 + 3n^2 + 2n) - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + 3(n^2 - 2n + 1) + 2n - 2)$

$= (n^3 + 3n^2 + 2n) - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + 3n^2 - 6n + 3 + 2n - 2)$

$= (n^3 + 3n^2 + 2n) - (n^3 - n)$

$= 3n^2 + 3n$

$= 3n(n+1)$

$n=1$ のとき、$a_1 = 3(1)(1+1) = 6$ となり、$S_1=6$と一致する。

よって、$a_n = 3n(n+1)$ は、$n \ge 1$ で成り立つ。

(3) $\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{a_k}$ を求める。

$\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{3k(k+1)} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k(k+1)}$

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ であるから、

$\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{100} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{100} - \frac{1}{101}) = 1 - \frac{1}{101} = \frac{100}{101}$

$\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{a_k} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{3} \times \frac{100}{101} = \frac{100}{303}$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 6, a_2 = 18$

(2) $a_n = 3n(n+1)$

(3) $\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{a_k} = \frac{100}{303}$