与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (1) $a_1 = 4, \ 2a_{n+1} = a_n \ (n = 1, 2, ...)$ (2) $a_1 = 1, \ a_{n+1} = a_n + 2 \cdot 3^n \ (n = 1, 2, ...)$ (3) $a_1 = 2, \ a_n = a_{n-1} + 3n - 1 \ (n = 2, 3, ...)$ (4) $a_1 = 2, \ a_{n+1} = 3a_n - 2 \ (n = 1, 2, ...)$ (5) $a_1 = 1, \ a_{n+1} = -\frac{1}{2} a_n + 2 \ (n = 1, 2, ...)$ (6) $a_1 = 2, \ \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2}{a_n} + 2 \ (n = 1, 2, ...)$

はい、承知いたしました。画像にある数列の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

(1) $a_1 = 4, \ 2a_{n+1} = a_n \ (n = 1, 2, ...)$

(2) $a_1 = 1, \ a_{n+1} = a_n + 2 \cdot 3^n \ (n = 1, 2, ...)$

(3) $a_1 = 2, \ a_n = a_{n-1} + 3n - 1 \ (n = 2, 3, ...)$

(4) $a_1 = 2, \ a_{n+1} = 3a_n - 2 \ (n = 1, 2, ...)$

(5) $a_1 = 1, \ a_{n+1} = -\frac{1}{2} a_n + 2 \ (n = 1, 2, ...)$

(6) $a_1 = 2, \ \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2}{a_n} + 2 \ (n = 1, 2, ...)$

2. 解き方の手順

(1) $2a_{n+1} = a_n$ より $a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n$ 。これは等比数列であるから、

$a_n = a_1 \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} = 4 \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} = 2^{2-(n-1)} = 2^{3-n}$

(2) $a_{n+1} = a_n + 2 \cdot 3^n$

階差数列であるから、 $n \geq 2$ のとき

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2 \cdot 3^k = 1 + 2 \cdot \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} = 1 + 3(3^{n-1} - 1) = 1 + 3^n - 3 = 3^n - 2$

$n=1$ のとき $a_1 = 3^1 - 2 = 1$ となり、これも満たす。よって $a_n = 3^n - 2$

(3) $a_n = a_{n-1} + 3n - 1$

階差数列であるから、$n \geq 2$ のとき

$a_n = a_1 + \sum_{k=2}^{n} (3k-1) = a_1 + \sum_{k=1}^{n} (3k-1) - (3\cdot 1 -1) = 2 + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n - 2 = \frac{3n^2 + 3n - 2n}{2} = \frac{3n^2 + n}{2}$

$a_n = \frac{3n^2 + n}{2}$

$n=1$ のとき $a_1 = \frac{3+1}{2} = 2$ となり、これも満たす。よって $a_n = \frac{3n^2 + n}{2}$

(4) $a_{n+1} = 3a_n - 2$

特性方程式 $x = 3x - 2$ を解くと $2x=2$ より $x=1$ 。

$a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$

$b_n = a_n - 1$ とおくと $b_{n+1} = 3b_n$ であり、$b_1 = a_1 - 1 = 2-1 = 1$ 。

$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$

$a_n = b_n + 1 = 3^{n-1} + 1$

(5) $a_{n+1} = -\frac{1}{2} a_n + 2$

特性方程式 $x = -\frac{1}{2} x + 2$ を解くと $\frac{3}{2} x = 2$ より $x = \frac{4}{3}$ 。

$a_{n+1} - \frac{4}{3} = -\frac{1}{2} (a_n - \frac{4}{3})$

$b_n = a_n - \frac{4}{3}$ とおくと $b_{n+1} = -\frac{1}{2} b_n$ であり、$b_1 = a_1 - \frac{4}{3} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$ 。

$b_n = b_1 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} = -\frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1}$

$a_n = b_n + \frac{4}{3} = -\frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} + \frac{4}{3}$

(6) $\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2}{a_n} + 2$

$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと $b_{n+1} = 2b_n + 2$ 。

特性方程式 $x = 2x + 2$ を解くと $-x = 2$ より $x = -2$ 。

$b_{n+1} + 2 = 2(b_n + 2)$

$c_n = b_n + 2$ とおくと $c_{n+1} = 2c_n$ であり、$c_1 = b_1 + 2 = \frac{1}{a_1} + 2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$ 。

$c_n = c_1 \cdot 2^{n-1} = \frac{5}{2} \cdot 2^{n-1} = 5 \cdot 2^{n-2}$

$b_n = c_n - 2 = 5 \cdot 2^{n-2} - 2$

$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{5 \cdot 2^{n-2} - 2}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^{3-n}$

(2) $a_n = 3^n - 2$

(3) $a_n = \frac{3n^2 + n}{2}$

(4) $a_n = 3^{n-1} + 1$

(5) $a_n = -\frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} + \frac{4}{3}$

(6) $a_n = \frac{1}{5 \cdot 2^{n-2} - 2}$