$a > 0$ のとき、不等式 $2a + \frac{3}{a} \geq 2\sqrt{6}$ を証明し、等号が成立する条件を求めます。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、不等式 $2a + \frac{3}{a} \geq 2\sqrt{6}$ を証明し、等号が成立する条件を求めます。

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の不等式を利用します。$a > 0$ なので、$2a > 0$ かつ $\frac{3}{a} > 0$ です。したがって、相加平均・相乗平均の不等式より、

$\frac{2a + \frac{3}{a}}{2} \geq \sqrt{2a \cdot \frac{3}{a}}$

$2a + \frac{3}{a} \geq 2\sqrt{6}$

これで、不等式 $2a + \frac{3}{a} \geq 2\sqrt{6}$ が証明できました。

等号が成立するのは、相加平均・相乗平均の不等式において、$2a = \frac{3}{a}$ が成り立つときです。

$2a^2 = 3$

$a^2 = \frac{3}{2}$

$a = \sqrt{\frac{3}{2}}$ （$a>0$ より）

$a = \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

不等式 $2a + \frac{3}{a} \geq 2\sqrt{6}$ は証明された。

等号成立条件は $a = \frac{\sqrt{6}}{2}$。