関数 $y = 3x^2 + 2x - 1$ の、区間 $-\frac{3}{2} \le x \le 1$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 3x^2 + 2x - 1$ の、区間 $-\frac{3}{2} \le x \le 1$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 3x^2 + 2x - 1 = 3(x^2 + \frac{2}{3}x) - 1$

$y = 3(x^2 + \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2) - 3(\frac{1}{3})^2 - 1$

$y = 3(x + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - 1$

$y = 3(x + \frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}$

したがって、この2次関数の頂点の座標は $(-\frac{1}{3}, -\frac{4}{3})$ である。

次に、与えられた区間 $-\frac{3}{2} \le x \le 1$ における最大値と最小値を求める。

頂点の $x$ 座標 $-\frac{1}{3}$ は区間内にある。

$x = -\frac{1}{3}$ のとき、 $y = -\frac{4}{3}$ （最小値の候補）

$x = -\frac{3}{2}$ のとき、$y = 3(-\frac{3}{2} + \frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3} = 3(-\frac{7}{6})^2 - \frac{4}{3} = 3(\frac{49}{36}) - \frac{4}{3} = \frac{49}{12} - \frac{16}{12} = \frac{33}{12} = \frac{11}{4}$

$x = 1$ のとき、$y = 3(1 + \frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3} = 3(\frac{4}{3})^2 - \frac{4}{3} = 3(\frac{16}{9}) - \frac{4}{3} = \frac{16}{3} - \frac{4}{3} = \frac{12}{3} = 4$ （最大値の候補）

$-\frac{4}{3} \approx -1.33$

$\frac{11}{4} = 2.75$

$4$

したがって、区間 $-\frac{3}{2} \le x \le 1$ における最大値は $x = 1$ のときの $4$ であり、最小値は $x = -\frac{1}{3}$ のときの $-\frac{4}{3}$ である。

3. 最終的な答え

最大値：$4$

最小値：$-\frac{4}{3}$