与えられた漸化式 $a_{n+2} = 3a_{n+1} + 2a_n$ と初期条件 $a_1 = 0$, $a_2 = 1$ から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $a_{n+2} = 3a_{n+1} + 2a_n$ と初期条件 $a_1 = 0$, $a_2 = 1$ から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、特性方程式を立てます。漸化式 $a_{n+2} = 3a_{n+1} + 2a_n$ の特性方程式は、

$x^2 = 3x + 2$

です。この方程式を解くと、

$x^2 - 3x - 2 = 0$

となります。因数分解できて

$(x-1)(x-2) = 0$

特性方程式の解は $x=1$, $x=2$ です。したがって、一般項は

$a_n = c_1 \cdot 1^n + c_2 \cdot 2^n = c_1 + c_2 \cdot 2^n$

の形で表されます。ここで、$c_1$ と $c_2$ は定数です。

初期条件 $a_1 = 0$ と $a_2 = 1$ を用いて、$c_1$ と $c_2$ の値を求めます。

$a_1 = c_1 + 2c_2 = 0$

$a_2 = c_1 + 4c_2 = 1$

これらの連立方程式を解きます。第一の式から $c_1 = -2c_2$ が得られます。これを第二の式に代入すると、

$-2c_2 + 4c_2 = 1$

$2c_2 = 1$

したがって、$c_2 = \frac{1}{2}$ となります。

$c_1 = -2c_2 = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$

よって、$c_1 = -1$ と $c_2 = \frac{1}{2}$ です。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = -1 + \frac{1}{2} \cdot 2^n = -1 + 2^{n-1}$

となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n-1} - 1$