与えられた漸化式 $5a_{n+2} = 3a_{n+1} + 2a_n$ について、初期条件が(1) $a_1 = 1, a_2 = 2$の場合と、(2) $a_1 = 0, a_2 = 1$の場合の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $5a_{n+2} = 3a_{n+1} + 2a_n$ について、初期条件が(1) $a_1 = 1, a_2 = 2$の場合と、(2) $a_1 = 0, a_2 = 1$の場合の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず漸化式を特性方程式を用いて解きます。特性方程式は

$5x^2 = 3x + 2$

$5x^2 - 3x - 2 = 0$

$(5x + 2)(x - 1) = 0$

よって、特性解は $x = 1, -\frac{2}{5}$ です。

したがって、一般解は

$a_n = A(1)^n + B(-\frac{2}{5})^n = A + B(-\frac{2}{5})^n$

と表せます。

(1)の場合、$a_1 = 1, a_2 = 2$ を代入して

$a_1 = A - \frac{2}{5}B = 1$

$a_2 = A + \frac{4}{25}B = 2$

これらの式を解くと、

$A = \frac{33}{26}$, $B = \frac{35}{13}$ となります。

したがって、

$a_n = \frac{33}{26} + \frac{35}{13}(-\frac{2}{5})^n$

(2)の場合、$a_1 = 0, a_2 = 1$ を代入して

$a_1 = A - \frac{2}{5}B = 0$

$a_2 = A + \frac{4}{25}B = 1$

これらの式を解くと、

$A = \frac{2}{7}$, $B = \frac{5}{7}$ となります。

したがって、

$a_n = \frac{2}{7} + \frac{5}{7}(-\frac{2}{5})^n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{33}{26} + \frac{35}{13}(-\frac{2}{5})^n$

(2) $a_n = \frac{2}{7} + \frac{5}{7}(-\frac{2}{5})^n$