与えられた2次関数 $y = -x^2 + 4x - 5$ を平方完成させ、そのグラフを描く。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -x^2 + 4x - 5$ を平方完成させ、そのグラフを描く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成させる。

$y = -x^2 + 4x - 5$

$x^2$の係数でくくる。

$y = -(x^2 - 4x) - 5$

括弧の中を平方完成させる。$x^2 - 4x$を$(x-a)^2 + b$の形に変形する。

$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$だから、$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$

これを元の式に代入する。

$y = -((x - 2)^2 - 4) - 5$

括弧を外す。

$y = -(x - 2)^2 + 4 - 5$

定数を計算する。

$y = -(x - 2)^2 - 1$

よって、平方完成した式は$y = -(x - 2)^2 - 1$となる。

この式から、グラフの頂点は$(2, -1)$であり、$x^2$の係数が負なので、上に凸の放物線であることがわかる。

グラフを描くには、頂点といくつか他の点を計算する必要がある。例えば、$x = 0$のとき、$y = -0^2 + 4(0) - 5 = -5$なので、点$(0, -5)$を通る。$x = 4$のとき、$y = -4^2 + 4(4) - 5 = -5$なので、点$(4, -5)$を通る。

頂点とこれらの点を考慮してグラフを描けばよい。

3. 最終的な答え

平方完成した式: $y = -(x - 2)^2 - 1$

グラフ: 頂点(2, -1)で上に凸の放物線 (グラフの具体的な描画は省略)