## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

与えられた数列 $\\{a_n\\}$ に関する問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。

* 問題2: $a_1 = 2$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n+4}$ で定義される数列 $\\{a_n\\}$ について、(7) 数列 $\\{b_n\\}$ を $b_n = \frac{1}{a_n}$ で定義するとき、$b_{n+1}$ と $b_n$ の間の関係式を求める。(8) 数列 $\\{a_n\\}$ の一般項を求める。

* 問題3: $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 3n - 1$ で定義される数列 $\\{a_n\\}$ について、(9) 数列 $\\{a_n\\}$ の階差数列を $\\{b_n\\}$ とするとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ の式で表す。(10) $b_n$ を $n$ の式で表す。(11) $a_n$ を $n$ の式で表す。

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2. 解き方の手順

#### 問題2

**(7) $b_{n+1}$ と $b_n$ の関係式を求める**

$b_n = \frac{1}{a_n}$ であるから、$b_{n+1} = \frac{1}{a_{n+1}}$ となります。

$a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n+4}$ より、

$$b_{n+1} = \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n+4}{a_n} = 1 + \frac{4}{a_n} = 1 + 4b_n$$

したがって、$b_{n+1} = 4b_n + 1$ となります。

**(8) $a_n$ の一般項を求める**

$b_{n+1} = 4b_n + 1$ より、特性方程式 $x = 4x + 1$ を解くと、$x = -\frac{1}{3}$ となります。

したがって、$b_{n+1} + \frac{1}{3} = 4(b_n + \frac{1}{3})$ と変形できます。

数列 $\\{b_n + \frac{1}{3}\\}$ は、初項 $b_1 + \frac{1}{3} = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$、公比 $4$ の等比数列です。

よって、$b_n + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \cdot 4^{n-1}$ となり、

$$b_n = \frac{5}{6} \cdot 4^{n-1} - \frac{1}{3}$$

$$b_n = \frac{5 \cdot 4^{n-1} - 2}{6}$$

$a_n = \frac{1}{b_n}$ なので、

$$a_n = \frac{6}{5 \cdot 4^{n-1} - 2}$$

#### 問題3

**(9) $b_{n+1}$ を $b_n$ の式で表す**

階差数列 $\\{b_n\\}$ は $b_n = a_{n+1} - a_n$ で定義されます。したがって、$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1}$ となります。

$a_{n+1} = 2a_n + 3n - 1$ より、$a_{n+2} = 2a_{n+1} + 3(n+1) - 1 = 2a_{n+1} + 3n + 2$ となります。

したがって、$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1} = (2a_{n+1} + 3n + 2) - a_{n+1} = a_{n+1} + 3n + 2 = (2a_n + 3n - 1) + 3n + 2 = 2a_n + 6n + 1$

また、$b_n = a_{n+1} - a_n = 2a_n + 3n - 1 - a_n = a_n + 3n - 1$ なので、$a_n = b_n - 3n + 1$ となります。

これらを代入して、$b_{n+1}$ を $b_n$ の式で表すと、

$b_{n+1} = 2(b_n - 3n + 1) + 6n + 1 = 2b_n - 6n + 2 + 6n + 1 = 2b_n + 3$

よって、$b_{n+1} = 2b_n + 3$ となります。

**(10) $b_n$ を $n$ の式で表す**

$b_{n+1} = 2b_n + 3$ より、特性方程式 $x = 2x + 3$ を解くと、$x = -3$ となります。

したがって、$b_{n+1} + 3 = 2(b_n + 3)$ と変形できます。

数列 $\\{b_n + 3\\}$ は、初項 $b_1 + 3 = a_2 - a_1 + 3 = (2a_1 + 3 \cdot 1 - 1) - a_1 + 3 = (2 \cdot 1 + 3 - 1) - 1 + 3 = 4 + 2 = 7$、公比 $2$ の等比数列です。

よって、$b_n + 3 = 7 \cdot 2^{n-1}$ となり、

$$b_n = 7 \cdot 2^{n-1} - 3$$

**(11) $a_n$ を $n$ の式で表す**

$b_n = a_{n+1} - a_n$ および $a_n = b_n - 3n + 1$ を使って、$a_n$ を $n$ の式で表します。

$a_n = b_n - 3n + 1 = (7 \cdot 2^{n-1} - 3) - 3n + 1 = 7 \cdot 2^{n-1} - 3n - 2$

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3. 最終的な答え

* **(7)** $b_{n+1} = 4b_n + 1$

* **(8)** $a_n = \frac{6}{5 \cdot 4^{n-1} - 2}$

* **(9)** $b_{n+1} = 2b_n + 3$

* **(10)** $b_n = 7 \cdot 2^{n-1} - 3$

* **(11)** $a_n = 7 \cdot 2^{n-1} - 3n - 2$