数列 $\{a_n\}$ があり、その初項 $a_1 = 1$ と漸化式 $a_{n+1} = a_n - 6n^2$ が与えられています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、その初項 $a_1 = 1$ と漸化式 $a_{n+1} = a_n - 6n^2$ が与えられています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この漸化式は階差数列の形をしているので、階差数列の考え方を利用して一般項を求めます。

$a_{n+1} - a_n = -6n^2$ であるから、数列 $\{a_n\}$ の階差数列は $\{-6n^2\}$ であることがわかります。

したがって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-6k^2)$

$a_1 = 1$ を代入すると、

$a_n = 1 - 6 \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ であることを用いると、

$a_n = 1 - 6 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$a_n = 1 - (n-1)n(2n-1)$

$a_n = 1 - (n-1)(2n^2 - n)$

$a_n = 1 - (2n^3 - n^2 - 2n^2 + n)$

$a_n = 1 - (2n^3 - 3n^2 + n)$

$a_n = -2n^3 + 3n^2 - n + 1$

この式は $n=1$ のときも $a_1 = -2(1)^3 + 3(1)^2 - 1 + 1 = -2 + 3 - 1 + 1 = 1$ となり、成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = -2n^3 + 3n^2 - n + 1$