問題15: 与えられた条件を満たす整式 A, B を求めます。 (1) A を $2x+1$ で割ると、商が $x^2 - 3x - 2$, 余りが $4$ である。 (3) $x^3 + x^2 - 3x - 1$ を B で割ると、商が $x-1$, 余りが $-3x+1$ である。 問題16: 与えられた多項式 $P(x)$ について、指定された値を求めます。 (1) $P(x) = 3x^2 + 2x - 1$ のとき、$P(0)$ と $P(-1)$ を求めます。

1. 問題の内容

問題15: 与えられた条件を満たす整式 A, B を求めます。

(1) A を $2x+1$ で割ると、商が $x^2 - 3x - 2$, 余りが $4$ である。

(3) $x^3 + x^2 - 3x - 1$ を B で割ると、商が $x-1$, 余りが $-3x+1$ である。

問題16: 与えられた多項式 $P(x)$ について、指定された値を求めます。

(1) $P(x) = 3x^2 + 2x - 1$ のとき、$P(0)$ と $P(-1)$ を求めます。

2. 解き方の手順

問題15 (1):

A は、$2x+1$ で割ると商が $x^2 - 3x - 2$, 余りが $4$ であるので、

$A = (2x+1)(x^2-3x-2) + 4$

これを展開して整理します。

問題15 (3):

$x^3 + x^2 - 3x - 1$ を B で割ると、商が $x-1$, 余りが $-3x+1$ であるので、

$x^3 + x^2 - 3x - 1 = B(x-1) + (-3x+1)$

この式を変形して B を求めます。

$B(x-1) = x^3 + x^2 - 3x - 1 - (-3x+1) = x^3 + x^2 - 2$

したがって、$B = \frac{x^3 + x^2 - 2}{x-1}$

多項式の割り算を行います。

問題16 (1):

$P(x) = 3x^2 + 2x - 1$ に $x=0$ と $x=-1$ を代入して値を求めます。

$P(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 1$

$P(-1) = 3(-1)^2 + 2(-1) - 1$

3. 最終的な答え

問題15 (1):

$A = (2x+1)(x^2 - 3x - 2) + 4 = 2x^3 - 6x^2 - 4x + x^2 - 3x - 2 + 4 = 2x^3 - 5x^2 - 7x + 2$

$A = 2x^3 - 5x^2 - 7x + 2$

問題15 (3):

$B = \frac{x^3 + x^2 - 2}{x-1} = x^2 + 2x + 2$ (割り算の結果)

$B = x^2 + 2x + 2$

問題16 (1):

$P(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 1 = -1$

$P(-1) = 3(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0$

$P(0) = -1$, $P(-1) = 0$