複素数の割り算を行う問題です。具体的には、(3) $\frac{2i}{3-i}$ と (4) $\frac{3+i}{1+2i}$ を計算します。

1. 問題の内容

複素数の割り算を行う問題です。具体的には、(3) $\frac{2i}{3-i}$ と (4) $\frac{3+i}{1+2i}$ を計算します。

2. 解き方の手順

(3) $\frac{2i}{3-i}$ の計算

分母の複素共役を分母分子にかけます。$3-i$ の複素共役は $3+i$ なので、

$\frac{2i}{3-i} = \frac{2i(3+i)}{(3-i)(3+i)}$

分子を展開します。

$2i(3+i) = 6i + 2i^2 = 6i - 2 = -2 + 6i$

分母を展開します。

$(3-i)(3+i) = 3^2 - (i)^2 = 9 - (-1) = 9 + 1 = 10$

したがって、

$\frac{2i}{3-i} = \frac{-2 + 6i}{10} = \frac{-1 + 3i}{5} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$

(4) $\frac{3+i}{1+2i}$ の計算

分母の複素共役を分母分子にかけます。$1+2i$ の複素共役は $1-2i$ なので、

$\frac{3+i}{1+2i} = \frac{(3+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$

分子を展開します。

$(3+i)(1-2i) = 3 - 6i + i - 2i^2 = 3 - 5i + 2 = 5 - 5i$

分母を展開します。

$(1+2i)(1-2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - 4i^2 = 1 + 4 = 5$

したがって、

$\frac{3+i}{1+2i} = \frac{5 - 5i}{5} = 1 - i$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{2i}{3-i} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$

(4) $\frac{3+i}{1+2i} = 1 - i$