与えられた多項式 $P(x) = ax^4 + (b-a)x^3 + (1-2ab)x^2 + (ab-10)x + 2ab$ に対して、以下の問いに答える問題です。 (1) $P(x)$ が $x-2$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。 (2) $P(x)$ が $x+2$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。 (3) $P(x)$ が $x^2-4$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求め、$P(x)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $P(x) = ax^4 + (b-a)x^3 + (1-2ab)x^2 + (ab-10)x + 2ab$ に対して、以下の問いに答える問題です。

(1) $P(x)$ が $x-2$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

(2) $P(x)$ が $x+2$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

(3) $P(x)$ が $x^2-4$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求め、$P(x)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ が $x-2$ で割り切れるとき、$P(2) = 0$ が成り立つ。

$P(2) = a(2^4) + (b-a)(2^3) + (1-2ab)(2^2) + (ab-10)(2) + 2ab = 0$

$16a + 8(b-a) + 4(1-2ab) + 2(ab-10) + 2ab = 0$

$16a + 8b - 8a + 4 - 8ab + 2ab - 20 + 2ab = 0$

$8a + 8b - 4ab - 16 = 0$

$2a + 2b - ab - 4 = 0$

$ab - 2a - 2b + 4 = 0$

$(a-2)(b-2) = 0$

したがって、$a=2$ または $b=2$

(2) $P(x)$ が $x+2$ で割り切れるとき、$P(-2) = 0$ が成り立つ。

$P(-2) = a(-2)^4 + (b-a)(-2)^3 + (1-2ab)(-2)^2 + (ab-10)(-2) + 2ab = 0$

$16a - 8(b-a) + 4(1-2ab) - 2(ab-10) + 2ab = 0$

$16a - 8b + 8a + 4 - 8ab - 2ab + 20 + 2ab = 0$

$24a - 8b - 8ab + 24 = 0$

$3a - b - ab + 3 = 0$

$b = 3a - ab + 3$

$b = a(3-b) + 3$

(3) $P(x)$ が $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ で割り切れるとき、(1)と(2)の両方の条件を満たす必要がある。つまり、$P(2)=0$ かつ $P(-2)=0$ 。

(1)より、$a=2$ または $b=2$

(2)より、$3a - b - ab + 3 = 0$

$a=2$ のとき、$6 - b - 2b + 3 = 0$ より、$9 - 3b = 0$ なので、$b=3$

$b=2$ のとき、$3a - 2 - 2a + 3 = 0$ より、$a+1=0$ なので、$a=-1$

$a=2, b=3$ のとき、

$P(x) = 2x^4 + x^3 + (1-12)x^2 + (6-10)x + 6 = 2x^4 + x^3 - 11x^2 - 4x + 6$

$P(x)$ は $x^2-4$ で割り切れるので、実際に割り算を行うと、

$P(x) = (x^2-4)(2x^2+x-1.5)$

これは、割り切れないため、$a=2, b=3$は条件を満たさない。

$a=-1, b=2$ のとき、

$P(x) = -x^4 + (2-(-1))x^3 + (1-2(-1)(2))x^2 + ((-1)(2)-10)x + 2(-1)(2) = -x^4 + 3x^3 + 5x^2 -12x - 4$

$P(x)$ は $x^2-4$ で割り切れるので、実際に割り算を行うと、

$P(x) = (x^2-4)(-x^2+3x+1)$

$P(x) = (x-2)(x+2)(-x^2+3x+1)$

3. 最終的な答え

$a = -1$, $b = 2$

$P(x) = (x-2)(x+2)(-x^2+3x+1)$