与えられた2次不等式 $-x^2 + 13x - 40 > 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次不等式 $-x^2 + 13x - 40 > 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に -1 を掛けて、$x^2$ の係数を正にします。このとき、不等号の向きが変わることに注意します。

$x^2 - 13x + 40 < 0$

次に、左辺の2次式を因数分解します。

$(x - 5)(x - 8) < 0$

2次不等式 $(x - 5)(x - 8) < 0$ の解を求めます。

$y = (x - 5)(x - 8)$ という2次関数のグラフを考えると、これは下に凸の放物線で、$x$軸との交点は $x = 5$ と $x = 8$ です。

不等式 $(x - 5)(x - 8) < 0$ は、この放物線が$x$軸より下にある範囲を求めることを意味します。

したがって、$x$ は 5 と 8 の間の値を取ります。

3. 最終的な答え

$5 < x < 8$