2直線 $l: y = 2x + a$ と $m: y = -\frac{2}{3}x - 3$ が点Aで交わっています。直線 $l$ とy軸の交点をB、直線 $m$ とy軸の交点をCとします。線分BCの長さが8であり、$a > 0$ であるとき、以下の問いに答えます。 (1) 定数 $a$ の値を求めなさい。 (2) 点Aの座標を求めなさい。 (3) 点Aを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

1. 問題の内容

2直線 $l: y = 2x + a$ と $m: y = -\frac{2}{3}x - 3$ が点Aで交わっています。直線 $l$ とy軸の交点をB、直線 $m$ とy軸の交点をCとします。線分BCの長さが8であり、$a > 0$ であるとき、以下の問いに答えます。

(1) 定数 $a$ の値を求めなさい。

(2) 点Aの座標を求めなさい。

(3) 点Aを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 定数 $a$ の値を求める。

点Bは直線 $l$ のy軸との交点なので、座標は $(0, a)$ となります。

点Cは直線 $m$ のy軸との交点なので、座標は $(0, -3)$ となります。

線分BCの長さが8なので、$a - (-3) = 8$ または $-3 - a = 8$ となります。

$a > 0$ より、$a + 3 = 8$ となるので、$a = 5$。

(2) 点Aの座標を求める。

点Aは2直線 $l$ と $m$ の交点なので、連立方程式

$y = 2x + 5$

$y = -\frac{2}{3}x - 3$

を解きます。

$2x + 5 = -\frac{2}{3}x - 3$

$6x + 15 = -2x - 9$

$8x = -24$

$x = -3$

$y = 2(-3) + 5 = -6 + 5 = -1$

したがって、点Aの座標は $(-3, -1)$。

(3) 点Aを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求める。

三角形ABCの面積を2等分する直線は、辺BCの中点を通ります。

BCの中点Mの座標は、$\left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{5 + (-3)}{2} \right) = (0, 1)$

点A $(-3, -1)$ と点M $(0, 1)$ を通る直線の式を $y = kx + b$ とおきます。

点Mを通るので、$1 = k(0) + b$ より、$b = 1$。

点Aを通るので、$-1 = k(-3) + 1$

$-2 = -3k$

$k = \frac{2}{3}$

したがって、求める直線の式は $y = \frac{2}{3}x + 1$。

3. 最終的な答え

(1) $a = 5$

(2) Aの座標: $(-3, -1)$

(3) $y = \frac{2}{3}x + 1$