与えられた不等式 $3(x+2) \ge 2(x+1)^2 + 2$ を解き、$x$の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $3(x+2) \ge 2(x+1)^2 + 2$ を解き、$x$の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を展開して整理します。

$3(x+2) \ge 2(x+1)^2 + 2$

$3x + 6 \ge 2(x^2 + 2x + 1) + 2$

$3x + 6 \ge 2x^2 + 4x + 2 + 2$

$3x + 6 \ge 2x^2 + 4x + 4$

次に、右辺に全て移項して整理します。

$0 \ge 2x^2 + 4x + 4 - 3x - 6$

$0 \ge 2x^2 + x - 2$

両辺に-1を掛けて不等号の向きを変えます。

$2x^2 + x - 2 \le 0$

次に、2次方程式 $2x^2 + x - 2 = 0$ の解を求めます。解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{4}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$

したがって、$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$ と $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$ が得られます。

2次不等式 $2x^2 + x - 2 \le 0$ の解は、2次関数のグラフが $x$軸より下にある範囲です。

つまり、$x$は $x_1$ と $x_2$ の間にあるので、不等式の解は次のようになります。

$\frac{-1 - \sqrt{17}}{4} \le x \le \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{-1 - \sqrt{17}}{4} \le x \le \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$