$a > 0$、 $b > 0$ のとき、次の不等式を証明する問題です。 $3\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{9a+4b}$

1. 問題の内容

$a > 0$、 $b > 0$ のとき、次の不等式を証明する問題です。

$3\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{9a+4b}$

2. 解き方の手順

不等式の証明は、一般的に両辺の差を計算し、それが正であることを示すことで行います。 今回の場合、両辺が正であるため、2乗したもので比較することで、ルートをなくし、計算を簡単にします。

まず、両辺を2乗します。

$(3\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^2 = 9a + 12\sqrt{ab} + 4b$

$(\sqrt{9a+4b})^2 = 9a + 4b$

次に、両辺の差を計算します。

$(9a + 12\sqrt{ab} + 4b) - (9a + 4b) = 12\sqrt{ab}$

ここで、$a > 0$、 $b > 0$ より、$\sqrt{ab} > 0$ なので、$12\sqrt{ab} > 0$ となります。

したがって、 $(3\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^2 > (\sqrt{9a+4b})^2$ が成り立ちます。

$3\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > 0$、$\sqrt{9a+4b} > 0$ であるので、$3\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{9a+4b}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$3\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{9a+4b}$