(1) $9^{\log_3 5}$ の値を求める。 (2) $2^a = 3^b = 6^{\frac{3}{2}}$ が成り立つとき、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $9^{\log_3 5}$ の値を求める。

(2) $2^a = 3^b = 6^{\frac{3}{2}}$ が成り立つとき、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$9^{\log_3 5} = (3^2)^{\log_3 5} = 3^{2\log_3 5} = 3^{\log_3 5^2} = 3^{\log_3 25}$

対数の定義より、$3^{\log_3 25} = 25$

(2)

$2^a = 3^b = 6^{\frac{3}{2}} = k$ とおく。

このとき、$2 = k^{\frac{1}{a}}$、$3 = k^{\frac{1}{b}}$、$6 = k^{\frac{2}{3}}$

$6 = 2 \cdot 3$ なので、$k^{\frac{2}{3}} = k^{\frac{1}{a}} \cdot k^{\frac{1}{b}}$

$k^{\frac{2}{3}} = k^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$

よって、$\frac{2}{3} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

3. 最終的な答え

(1) 25

(2) $\frac{2}{3}$