与えられた4つの対数方程式を解きます。 (1) $\log_3(x-2) = 2$ (2) $\log_x 3 = 2$ (3) $\log_2(x+1) + \log_2 x = 1$ (4) $\log_4(x^2 - 3x - 10) = \log_4(2x-4)$

はい、承知いたしました。対数方程式の問題ですね。解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた4つの対数方程式を解きます。

(1) $\log_3(x-2) = 2$

(2) $\log_x 3 = 2$

(3) $\log_2(x+1) + \log_2 x = 1$

(4) $\log_4(x^2 - 3x - 10) = \log_4(2x-4)$

2. 解き方の手順

(1) $\log_3(x-2) = 2$

対数の定義から、$x-2 = 3^2$となります。

$x - 2 = 9$

$x = 11$

真数条件より、$x-2 > 0$ である必要があるので、$x>2$。$x=11$ はこの条件を満たします。

(2) $\log_x 3 = 2$

対数の定義から、$x^2 = 3$となります。

$x = \pm \sqrt{3}$

底の条件より、$x > 0$ かつ $x \neq 1$ である必要があるので、$x = \sqrt{3}$ が解となります。

(3) $\log_2(x+1) + \log_2 x = 1$

対数の性質から、$\log_2((x+1)x) = 1$となります。

$\log_2(x^2+x) = 1$

対数の定義から、$x^2 + x = 2^1$となります。

$x^2 + x = 2$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

$x = -2, 1$

真数条件より、$x+1>0$ かつ $x>0$ である必要があるので、$x>0$。よって、$x=1$ が解となります。

(4) $\log_4(x^2 - 3x - 10) = \log_4(2x-4)$

真数が等しいので、$x^2 - 3x - 10 = 2x - 4$となります。

$x^2 - 5x - 6 = 0$

$(x-6)(x+1) = 0$

$x = 6, -1$

真数条件より、$x^2 - 3x - 10 > 0$ かつ $2x-4 > 0$である必要があります。

$2x-4 > 0$ より $x>2$

$x^2 - 3x - 10 > 0$ より $(x-5)(x+2)>0$ よって$x < -2$ または $x > 5$。

$x>2$とあわせて、$x>5$

したがって、$x=6$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 11$

(2) $x = \sqrt{3}$

(3) $x = 1$

(4) $x = 6$