数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ があり、初期値 $a_1 = 2$, $b_1 = 2$、漸化式 $a_{n+1} = 6a_n + 2b_n$, $b_{n+1} = -2a_n + 2b_n$ で定義される。 (1) $c_n = a_n + b_n$ とおくとき、数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (3) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ があり、初期値 $a_1 = 2$, $b_1 = 2$、漸化式 $a_{n+1} = 6a_n + 2b_n$, $b_{n+1} = -2a_n + 2b_n$ で定義される。

(1) $c_n = a_n + b_n$ とおくとき、数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $c_n = a_n + b_n$ より、

$c_{n+1} = a_{n+1} + b_{n+1} = (6a_n + 2b_n) + (-2a_n + 2b_n) = 4a_n + 4b_n = 4(a_n + b_n) = 4c_n$

よって、数列 $\{c_n\}$ は公比4の等比数列である。

初項は $c_1 = a_1 + b_1 = 2 + 2 = 4$ である。

したがって、$c_n = 4 \cdot 4^{n-1} = 4^n$

(2) $b_n = c_n - a_n = 4^n - a_n$ を $a_{n+1} = 6a_n + 2b_n$ に代入すると、

$a_{n+1} = 6a_n + 2(4^n - a_n) = 4a_n + 2 \cdot 4^n$

$a_{n+1} = 4a_n + 2 \cdot 4^n$ を変形する。両辺を $4^{n+1}$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{4^{n+1}} = \frac{4a_n}{4^{n+1}} + \frac{2 \cdot 4^n}{4^{n+1}} = \frac{a_n}{4^n} + \frac{2}{4}$

$\frac{a_{n+1}}{4^{n+1}} = \frac{a_n}{4^n} + \frac{1}{2}$

$d_n = \frac{a_n}{4^n}$ とおくと、$d_{n+1} = d_n + \frac{1}{2}$

数列 $\{d_n\}$ は、初項 $d_1 = \frac{a_1}{4^1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$、公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列である。

$d_n = \frac{1}{2} + (n-1)\frac{1}{2} = \frac{n}{2}$

$\frac{a_n}{4^n} = \frac{n}{2}$ より、$a_n = \frac{n}{2} \cdot 4^n = n \cdot 2^{2n-1}$

(3) $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{2k-1} = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^{k-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} k \cdot 4^k$

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = 2\cdot1 + 8\cdot2 + 32\cdot3 + \cdots + n\cdot2^{2n-1}$

$4S_n = 8\cdot1 + 32\cdot2 + \cdots + 4^{n-1}\cdot(n-1)+ n\cdot4^{n}$

$S_n - 4S_n = 2 + \sum_{k=2}^n 2^{2k-1} - n\cdot4^{n}$

$-3S_n = \sum_{k=1}^{n} k4^k = 4 + 2 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^3 + \cdots + n4^n$

$-3S_n = \sum_{k=1}^n k4^k$

$S = \sum_{k=1}^n kx^k = \frac{x(1-(n+1)x^n + nx^{n+1})}{(1-x)^2}$　を使う.　$x = 4$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} k 4^k = \frac{1}{2} \cdot \frac{4(1-(n+1)4^n + n4^{n+1})}{(1-4)^2} = \frac{2(1 - (n+1)4^n + 4n4^n)}{9} = \frac{2(1 - 4^n - n4^n + 4n4^n)}{9} = \frac{2(1 - 4^n + 3n4^n)}{9} = \frac{2}{9}(1 + (3n-1)4^n)$

3. 最終的な答え

(1) $c_n = 4^n$

(2) $a_n = n \cdot 2^{2n-1}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{2}{9}(1 + (3n-1)4^n)$