4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とします。 以下の条件を満たす $n$ は全部で何個あるかを求めます。 (1) $a>b>c>d$ (2) $a\geq b>c>d$

1. 問題の内容

4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とします。

以下の条件を満たす $n$ は全部で何個あるかを求めます。

(1) $a>b>c>d$

(2) $a\geq b>c>d$

2. 解き方の手順

(1) $a>b>c>d$ の場合

$a, b, c, d$ は全て異なる数字である必要があります。

また、$a, b, c, d$ は $0$ から $9$ までの整数で、 $a \neq 0$ である必要があります。

$0$ から $9$ までの10個の数字から4つの異なる数字を選ぶ組み合わせの数を考えます。

選んだ4つの数字を大きい順に $a, b, c, d$ とすれば条件を満たす4桁の整数が1つ決まります。

ただし、$0$ が選ばれた場合は、$a$ は $0$ ではないので、 $0$ が4つの数字の中に含まれる場合も考えなければなりません。

まず、10個の数字から4つを選ぶ組み合わせは $_{10}C_4$ です。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

4つの数字の中に $0$ が含まれる場合を考えます。

$0$ を含めた4つの数字を選ぶということは、残りの9個の数字から3つを選ぶことに相当します。

その組み合わせは $_{9}C_3$ です。

$_{9}C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

したがって、条件を満たす4桁の自然数の個数は $_{10}C_4$ から $_{9}C_3$ を引けば求まります。

しかし、ここでは選んだ4つの数字を大きい順に $a, b, c, d$ とすれば条件を満たす4桁の整数が1つ決まることを利用します。

すなわち、$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ の10個の数字から4個を選び、$a, b, c, d$ に大きい順に割り当てれば良いです。

$a$ は $0$ になれないので、$0$ を含む選び方は除外する必要があります。

しかし、4つの数字を選んでしまえば、$a>b>c>d$ の条件から、自動的に $a \neq 0$ が満たされます。

なぜなら、$a$ が一番大きい数字なので、$0$ になることはありません。

したがって、$_{10}C_4 = 210$ 個となります。

しかし、$a$ は千の位の数字なので $0$ になることはできません。選んだ4つの数字の中で最大のものが $a$ になるので、選んだ4つの数字に $0$ が含まれていても問題ありません。

(2) $a\geq b>c>d$ の場合

$a, b, c, d$ は $0$ から $9$ までの整数です。

この場合、$a$ と $b$ は同じ数字でも良いことに注意します。

まず、$a, b, c, d$ がすべて異なる数字の場合を考えます。

$a > b > c > d$ の場合は (1) で考えたように $_{10}C_4 = 210$ 個です。

次に、$a=b$ の場合を考えます。

$a=b > c > d$ となるような $a, c, d$ を選ぶことになります。

このとき、$a, c, d$ は異なる数字でなければなりません。

$0$ から $9$ までの10個の数字から3つの異なる数字を選ぶ組み合わせは $_{10}C_3$ です。

選んだ3つの数字を $x, y, z$ ($x>y>z$) とすると、

$a = b = x$, $c = y$, $d = z$ とすることで条件を満たす4桁の整数が1つ決まります。

したがって、$_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ 個です。

したがって、合計 $210 + 120 = 330$ 個です。

別解として、0から9の10個の数字から重複を許して4個選び、大きい順に$a, b, c, d$に割り当てることを考えます。ただし、$a\geq b>c>d$なので、4つの数字を選ぶ際に$a$と$b$の間だけ重複を許します。

$x_1=a-b$, $x_2=b-c$, $x_3=c-d$, $x_4=d$ とおくと、

$x_1\geq 0$, $x_2>0$, $x_3>0$, $x_4\geq 0$ であり、$x_1+x_2+x_3+x_4=a\leq 9$ となります。

$a, b, c, d$は整数である必要があるので、$x_1, x_2, x_3, x_4$も整数です。

$x_2=x_2'+1$, $x_3=x_3'+1$ とおくと、$x_2'\geq 0$, $x_3'\geq 0$ となり、

$x_1+x_2'+1+x_3'+1+x_4 = a \leq 9$ より、

$x_1+x_2'+x_3'+x_4 = a-2 \leq 7$

$x_1+x_2'+x_3'+x_4+x_5 = 7$ を満たす非負整数解の数を求めます。 ($x_5 \geq 0$)

これは、$7+5-1 C_{5-1} = 11C_4 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 10 \times 3 = 330$

3. 最終的な答え

(1) 210個

(2) 330個