(2) 放物線 $y = 2x^2 - 8x + 9$ の頂点と一致し、$y$軸と点$(0, 5)$で交わる放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(2) 放物線 $y = 2x^2 - 8x + 9$ の頂点と一致し、$y$軸と点$(0, 5)$で交わる放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = 2x^2 - 8x + 9$ の頂点の座標を求める。

平方完成を行うと、

$y = 2(x^2 - 4x) + 9$

$y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 9$

$y = 2((x - 2)^2 - 4) + 9$

$y = 2(x - 2)^2 - 8 + 9$

$y = 2(x - 2)^2 + 1$

したがって、放物線 $y = 2x^2 - 8x + 9$ の頂点の座標は $(2, 1)$ である。

次に、求める放物線の方程式を $y = a(x - 2)^2 + 1$ とおく。

この放物線が点 $(0, 5)$ を通るので、$x = 0$, $y = 5$ を代入すると、

$5 = a(0 - 2)^2 + 1$

$5 = 4a + 1$

$4a = 4$

$a = 1$

よって、求める放物線の方程式は $y = (x - 2)^2 + 1$ である。展開すると、

$y = x^2 - 4x + 4 + 1$

$y = x^2 - 4x + 5$

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 4x + 5$