放物線 $C: y = \frac{1}{2}x^2 + 2x + k$ が与えられており、以下の問いに答える必要があります。 (1) $C$が点$(2, 9)$を通ることから、$k$の値を求め、さらに放物線$C$の頂点の座標を求めます。 (2) (i) $C$を$x$軸方向に$4$, $y$軸方向に$-2$だけ平行移動した放物線を$C_1$とし、$C_1$の方程式を求めます。 (ii) $C$を$x$軸に関して対称移動した放物線を$C_2$とし、$C_2$の方程式を求めます。 (3) $C$, $C_1$, $C_2$の頂点をそれぞれ$P$, $Q$, $R$とします。三角形$PQR$の周を$L$とし、$L$上に頂点がくるように$C$を平行移動した放物線を$C_3$とします。 (i) $C_3$は$L$との共有点がちょうど3個であり、点$(-1, 1)$を通る。このような$C_3$の方程式を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = \frac{1}{2}x^2 + 2x + k$ が与えられており、以下の問いに答える必要があります。

(1) $C$が点$(2, 9)$を通ることから、$k$の値を求め、さらに放物線$C$の頂点の座標を求めます。

(2) (i) $C$を$x$軸方向に$4$, $y$軸方向に$-2$だけ平行移動した放物線を$C_1$とし、$C_1$の方程式を求めます。

(ii) $C$を$x$軸に関して対称移動した放物線を$C_2$とし、$C_2$の方程式を求めます。

(3) $C$, $C_1$, $C_2$の頂点をそれぞれ$P$, $Q$, $R$とします。三角形$PQR$の周を$L$とし、$L$上に頂点がくるように$C$を平行移動した放物線を$C_3$とします。

(i) $C_3$は$L$との共有点がちょうど3個であり、点$(-1, 1)$を通る。このような$C_3$の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

放物線$C$が点$(2, 9)$を通るので、$x = 2$, $y = 9$を$C$の式に代入して$k$を求めます。

$9 = \frac{1}{2}(2)^2 + 2(2) + k$

$9 = 2 + 4 + k$

$k = 3$

したがって、$C$の式は $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x + 3$となります。

次に、この式を平方完成して頂点の座標を求めます。

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x) + 3$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4 - 4) + 3$

$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 2 + 3$

$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 + 1$

よって、頂点の座標は$(-2, 1)$です。

(2) (i)

$C: y = \frac{1}{2}x^2 + 2x + 3$を$x$軸方向に$4$, $y$軸方向に$-2$だけ平行移動した放物線$C_1$の方程式は、

$y + 2 = \frac{1}{2}(x - 4)^2 + 2(x - 4) + 3$

$y + 2 = \frac{1}{2}(x^2 - 8x + 16) + 2x - 8 + 3$

$y + 2 = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 8 + 2x - 5$

$y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1$

したがって、$C_1$の方程式は $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1$です。

(ii)

$C: y = \frac{1}{2}x^2 + 2x + 3$を$x$軸に関して対称移動した放物線$C_2$の方程式は、

$-y = \frac{1}{2}x^2 + 2x + 3$

$y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 3$

したがって、$C_2$の方程式は $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 3$です。

(3)

$C$の頂点$P$は$(-2, 1)$

$C_1$の頂点$Q$は、$y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 1$より、$(2, -1)$

$C_2$の頂点$R$は、$y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 3 = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 - 1$より、$(-2, -1)$

三角形$PQR$の周の長さ$L$は、

$PQ = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$PR = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2$

$QR = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{16} = 4$

したがって、$L = 2\sqrt{5} + 2 + 4 = 6 + 2\sqrt{5}$

$C_3$の頂点が$L$上にあるということは、$C_3$の頂点$T(s, t)$が線分$PQ, PR, QR$のいずれかの上にあるということです。$C_3$は$L$と3点で交わるので、$C_3$は$P$, $Q$, $R$のいずれかを通るはずです。$C_3$はまた、点$(-1, 1)$を通ります。$C_3$の方程式を$y = \frac{1}{2}(x - s)^2 + t$と置きます。

$C_3$が点$(-1, 1)$を通るので、$1 = \frac{1}{2}(-1 - s)^2 + t$、つまり、$t = 1 - \frac{1}{2}(s + 1)^2$。$C_3$の方程式は$y = \frac{1}{2}(x - s)^2 + 1 - \frac{1}{2}(s + 1)^2$です。

$C_3$が$R(-2, -1)$を通るとすると、$-1 = \frac{1}{2}(-2 - s)^2 + 1 - \frac{1}{2}(s + 1)^2$

$-2 = \frac{1}{2}(4 + 4s + s^2) + 1 - \frac{1}{2}(s^2 + 2s + 1)$

$-3 = \frac{1}{2}(4 + 4s + s^2 - s^2 - 2s - 1)$

$-6 = 3 + 2s$

$2s = -9$

$s = -\frac{9}{2}$

$t = 1 - \frac{1}{2}(-\frac{9}{2} + 1)^2 = 1 - \frac{1}{2}(-\frac{7}{2})^2 = 1 - \frac{49}{8} = -\frac{41}{8}$

このとき、$C_3: y = \frac{1}{2}(x + \frac{9}{2})^2 - \frac{41}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $k = 3$, 頂点の座標は $(-2, 1)$

(2) (i) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1$

(ii) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 3$

(3) $y = \frac{1}{2}(x + \frac{9}{2})^2 - \frac{41}{8}$