関数 $y = x^2 - 2ax + 2a^2$ （$0 \le x \le 2$）について、以下の問いに答えます。 (1) $a$ の値の範囲によって、最小値を求めます。 * [1] $a < 0$ の場合 * [2] $0 \le a \le 2$ の場合 * [3] $a > 2$ の場合 (2) $a$ の値の範囲によって、最大値を求めます。 * [1] $a < 1$ の場合 * [2] $a = 1$ の場合 * [3] $a > 1$ の場合

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax + 2a^2$ （$0 \le x \le 2$）について、以下の問いに答えます。

(1) $a$ の値の範囲によって、最小値を求めます。

* [1] $a < 0$ の場合

* [2] $0 \le a \le 2$ の場合

* [3] $a > 2$ の場合

(2) $a$ の値の範囲によって、最大値を求めます。

* [1] $a < 1$ の場合

* [2] $a = 1$ の場合

* [3] $a > 1$ の場合

2. 解き方の手順

(1) 最小値を求める

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + 2a^2 = (x - a)^2 - a^2 + 2a^2 = (x - a)^2 + a^2$

このグラフは、頂点が $(a, a^2)$ の下に凸な放物線です。定義域は $0 \le x \le 2$ です。

$a$ の値の範囲によって場合分けをして、最小値を求めます。

[1] $a < 0$ の場合

頂点 $x = a$ は定義域の左側にあります。したがって、$x = 0$ のとき最小値をとります。

$x = 0$ を代入すると、$y = (0 - a)^2 + a^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

[2] $0 \le a \le 2$ の場合

頂点 $x = a$ が定義域内にあります。したがって、$x = a$ のとき最小値をとります。

$y = a^2$

[3] $a > 2$ の場合

頂点 $x = a$ は定義域の右側にあります。したがって、$x = 2$ のとき最小値をとります。

$x = 2$ を代入すると、$y = (2 - a)^2 + a^2 = 4 - 4a + a^2 + a^2 = 2a^2 - 4a + 4$

(2) 最大値を求める

与えられた関数 $y = (x - a)^2 + a^2$ において、軸は $x = a$ です。定義域は $0 \le x \le 2$ です。

[1] $a < 1$ の場合

軸 $x = a$ は区間の中央 $x=1$ より左にあります。したがって、$x = 2$ のとき最大値をとります。

$x = 2$ を代入すると、$y = 2a^2 - 4a + 4$

[2] $a = 1$ の場合

軸 $x = a = 1$ は区間の中央にあります。したがって、$x = 0$ または $x = 2$ のとき最大値をとります。

$x = 0$ を代入すると、$y = 2a^2 = 2(1)^2 = 2$

$x = 2$ を代入すると、$y = 2a^2 - 4a + 4 = 2(1)^2 - 4(1) + 4 = 2$

よって、最大値は $2$

[3] $a > 1$ の場合

軸 $x = a$ は区間の中央 $x=1$ より右にあります。したがって、$x = 0$ のとき最大値をとります。

$x = 0$ を代入すると、$y = 2a^2$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

* [1] $a < 0$ のとき、$2a^2$

* [2] $0 \le a \le 2$ のとき、$a^2$

* [3] $a > 2$ のとき、$2a^2 - 4a + 4$

(2) 最大値

* [1] $a < 1$ のとき、$2a^2 - 4a + 4$

* [2] $a = 1$ のとき、$2$

* [3] $a > 1$ のとき、$2a^2$