与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点の座標と通る1点の座標が与えられたとき。 (2) 軸の方程式と通る2点の座標が与えられたとき。 (3) 通る3点の座標が与えられたとき。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点の座標と通る1点の座標が与えられたとき。

(2) 軸の方程式と通る2点の座標が与えられたとき。

(3) 通る3点の座標が与えられたとき。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標が$(-1, 3)$なので、求める2次関数を $y = a(x+1)^2 + 3$ と置くことができます。

点$(1, 7)$を通るので、この式に$x=1$, $y=7$を代入すると、

$7 = a(1+1)^2 + 3$

$7 = 4a + 3$

$4a = 4$

$a = 1$

したがって、求める2次関数は $y = (x+1)^2 + 3 = x^2 + 2x + 1 + 3 = x^2 + 2x + 4$ です。

(2) 軸が直線$x = -2$なので、求める2次関数を $y = a(x+2)^2 + q$ と置くことができます。

点$(0, 3)$と$(-1, 0)$を通るので、これらの点を代入すると、

$3 = a(0+2)^2 + q = 4a + q$ ...(1)

$0 = a(-1+2)^2 + q = a + q$ ...(2)

(1) - (2)より、

$3 = 3a$

$a = 1$

(2)に代入して、$0 = 1 + q$ より $q = -1$

したがって、求める2次関数は $y = (x+2)^2 - 1 = x^2 + 4x + 4 - 1 = x^2 + 4x + 3$ です。

(3) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ と置きます。

3点$(-1, 1)$, $(1, -5)$, $(3, 5)$を通るので、これらの点を代入すると、

$1 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$ ...(1)

$-5 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$ ...(2)

$5 = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c$ ...(3)

(2) - (1)より、

$-6 = 2b$

$b = -3$

(1)に $b = -3$ を代入して、$1 = a + 3 + c$, よって $a + c = -2$, $c = -a - 2$ ...(4)

(3)に $b = -3$ を代入して、$5 = 9a - 9 + c$, よって $9a + c = 14$ ...(5)

(5) - (4)より、$8a = 16$, $a = 2$

(4)に代入して、$c = -2 - 2 = -4$

したがって、求める2次関数は $y = 2x^2 - 3x - 4$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 + 2x + 4$

(2) $y = x^2 + 4x + 3$

(3) $y = 2x^2 - 3x - 4$